专题11 函数中的同构问题（学生版） -2025年高考数学压轴大题必杀技系列导数.pdf

专题11函数中的同构问题

近年来同构函数频频出现在模拟试卷导数解答题中，高考真题中也出现过同构函数的身影，同构法是将不

同的式子通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方

法，这体现了转化思想．此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式、不等式问题中，

或利用函数单调性定义确定函数单调性，利用此方法求解某些导数压轴题往往能起到秒杀效果.

(一)同构函数揭秘

同构式是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式，导数中同构函数问题大多属于指对跨阶问题，比如

ex+x与x+lnx属于“跨阶函数”，而ex+lnx属于“跳阶函数”，对于指对跳阶的函数问题，直接求解，一般

是通过隐零点代换来简化，并且有很大局限性，有些题若采用指对跨阶函数进行同构，可将跳阶函数问题

x

转化为跨阶函数问题，从而使计算降阶，通常构造的同构函数有以下几类：fx=xe,fx=xlnx,

xx

fx=x+e,fx=x+lnx，fx=e-x+a,fx=lnx-x+a等，在一些求参数的取值范围、零点个数、

不等式证明、双变量问题中，利用复合函数单调性，复合函数零点个数等问题中常通过构造同构函数求解.

x

利用同构函数解题要注意一些常见的凑形技巧，如；=lnx=xx=x+lnxe=x-lnx等.

xe,xlne,xee,e

x

12024fx=lnx+ax+1,aÎR

【例】（届江苏省苏州市高三下学期三模）已知函数．

(1)讨论fx的单调性；

(2)当a£2时，证明：fx£e2x．

x

1

1fx=lnx+ax+1,aÎR0,+¥fx=+a

【解析】（）函数的定义域为，且．

x

1

a³0xÎ0,+¥,fx=+a0fx0,+¥

当时，恒成立，所以在区间上单调递增；

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