江苏省南京市第五高级中学2025届高三上学期7月零模模拟考试 数学试题（含解析）.docx

江苏省南京市第五高级中学2025届高三7月零模模拟考试数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．若集合，，则（????）

A． B．[0，1]

C． D．

2．已知复数满足，则（????）

A． B． C． D．

3．已知等比数列的公比为，若，且成等差数列，则（????）

A． B． C． D．

4．已知，则（????）

A． B． C． D．

5．已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为，则圆锥的高为（????）

A． B． C． D．

6．函数的图象大致形状是（????）

A． B．

C． D．

7．某罐中装有大小和质地相同的4个红球和3个绿球，每次不放回地随机摸出1个球.记“第一次摸球时摸到红球”，“第一次摸球时摸到绿球”，“第二次摸球时摸到红球”，“第二次摸球时摸到绿球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是（????）

A． B．

C． D．

8．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因为其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert常数约为（参考数据：，）（????）

A．1.12 B．1.13

C．1.14 D．1.15

二、多选题（本大题共3小题）

9．若正数，满足，则（????）

A． B．

C． D．

10．已知函数，则下列结论正确的是（????）

A．函数的单调递增区间是 B．函数的值域是

C．函数的图象关于对称 D．不等式的解集是

11．如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（????）

??

A．动点轨迹的长度为

B．三棱锥体积的最小值为

C．与不可能垂直

D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知平面向量，，若，则.

13．在2024年巴黎奥运会志愿者活动中，甲、乙、丙、丁4人要参与到，，三个项目的志愿者工作中，每个项目必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加项目，那么不同的志愿者分配方案共有种（用数字表示）.

14．某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投千元．

四、解答题（本大题共5小题）

15．已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，.

(1)求；

(2)若，求的值.

16．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，二面角为直二面角.

(1)求证：；

(2)当时，求直线与平面所成角的正弦值.

17．无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域.

(1)消防员甲操纵某一品牌的无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表，根据小概率值的独立性检验，分析消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候是否有关：

晴天

雨天

命中

45

30

不命中

5

20

附：其中

0.15

0.10

0.05

0.010

0.001

2.072

2.706

3.841

6.635

10.828

(2)某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭.

（i）求起火点被无人机击中次数X的分布列及数学期望；

（ii）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.

18．已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)若恒成立，求实数的取值集合.

19．已知椭圆：的离心率为，左?右焦点分别为，，上?下顶点分别为，，且四边形的面积为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线：与椭圆交于P，Q两点，且P，Q关于原点的对称点分别为M，N，若是一个与无关的常数，则当四边形面积最大时，求直线的方程.

参考答案

1．【答案】D

【分析】先求得集合，，再求其并集即可．

【详解】由，得，故，

由，得，故，

故．

故选D．

2．【答案】B

【分析】利用复数的模及除法运算求解.

【详解】由得.

故选B.

3．【答案】C

【分析】根据等差数列定义和等比数列通项公式可构造方程求得结果.

【详解】成等差数列，，又，

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