湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期月考试卷（一） 数学试题（含解析）.docx

雅礼中学2025届高三月考试卷（一）

数学

得分：__________.

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.

第I卷

一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40.分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（）

A.B.

C.D.

2.已知复数满足，且为实数，则（）

A.1B.2C.-1D.-2

3.设向量，则下列结论正确的是（）

A.B.

C.与垂直D.

4.已知是函数的零点，若，则的值满足（）

A.B.

C.D.的符号不确定

5.若，则的值为（）

A.B.C.D.

6.用数字组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）

A.8B.24C.48D.120

7.函数的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（）

A.B.

C.D.

8.刍甍是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某屋顶可视为五面体，四边形和是全等的等腰梯形，和是全等的等腰三角形.若，且等腰梯形所在的面?等腰三角形所在的面与底面所成夹角的正切值均为.若为这个模型的轮廓（即所有的棱）安装灯带（不计损耗），则所需灯带的长度为（）

A.102B.112C.117D.125

二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知变量之间的经验回归方程为，且变量之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法正确的是

6

8

10

12

6

3

2

A.变量之间成负相关关系

B.

C.可以预测，当时，约为2.6

D.由表格数据知，该经验回归直线必过点

10.一个矩形的周长为，面积为，则下列四组数对中，可作为数对的有（）

A.B.C.D.

11.直线与双曲线交于两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则（）

A.若，则

B.若，则的面积为4

C.

D.的最小值为4

第Ⅱ卷

三?填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若曲线上点的切线平行于直线，则点的坐标是__________.

13.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若点到轴的距离是，则__________.

14.马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中装有1个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球.现从甲?乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为，则的值是__________；的数学期望是__________.

四?解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明?证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

如图，在直三棱柱中，分别为的中点.

（1）求证：；

（2）求与平面所成角的正弦值.

16.（本小题满分15分）

已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

17.（本小题满分15分）

已知等比数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由.

18.（本小题满分17分）

椭圆的离心率为，短轴长为2，点为椭圆的右顶点.，过点作的两条切线分别与椭圆交于两点（不同于点）.

（1）求椭圆的方程；

（2）当变化时，直线的斜率乘积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；

（3）给定一个，椭圆上的点到直线的距离的最大值为，当变化时，求的最大值，并求出此时的值.

19.（本小题满分17分）

如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范