吉林省实验中学2024-2025学年高三上学期开学学业诊断考试 数学试题.docx

吉林省实验中学

2024-2025学年度上学期高三年级学业诊断考试

数学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第I卷1至3页，第II卷4至6页.

第I卷

一?单选题：本题包括8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1.已知复数，则（）

A. B. C. D.

2.下列命题为真命题的是（）

A.命题“”的否定是“”

B.若，则

C.的单调减区间为

D.是的必要不充分条件

3.已知向量，的夹角为150°，且，，则（）

A.1 B. C. D.

4.如图，在圆（）上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是（）

A. B.

C. D.

5.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面水平放置时，液面恰好过的四等分点处，，当底面水平放置时，液面高为（）

A. B. C. D.

6.平均数?中位数和众数都描述了数据的集中趋势，下列说法错误的是（）

A.如果频率分布直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数大体上差不多

B.与中位数相比，平均数反映出样本数据中的更多信息

C.对分类型数据，比如产品质量等级等集中趋势的描述可以用众数

D.如果频率分布直方图在“右边”拖尾，那么平均数小于中位数

7.已知有唯一的零点，则实数的值为（）

A.0 B. C. D.

8.设函数，若存在使得既是的零点，也是的极值点，则的可能取值为（）

A.0 B. C. D.

二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的答案的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选题的得0分.

9.（多选）下列四种变换，其中能使的图象变为的图象的是（）

A.向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的

B.向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的

C.各点横坐标缩短为原来，再向左平移个单位长度

D.各点横坐标缩短为原来，再向左平移个单位长度

10.已知抛物线的焦点为F，C上一点到和到轴的距离分别为12和10，且点位于第一象限，以线段为直径的圆记为，则下列说法正确的是（）

A.

B.的准线方程为

C.圆的标准方程为

D.若过点，且与直线为坐标原点）平行的直线与圆相交于A，B两点，则

11.已知是函数的极值点，若，则下列结论正确的是（）

A.的对称中心为 B.

C. D.

第II卷

三?填空题：本题共3题，每小题5分，共15分.

12.等差数列中，，则_____．

13.在中，若，则的值是________．

14.给如图所示的1~9号方格进行涂色，规则是：任选一个格子开始涂色，之后每次随机选一个未涂色且与上次所涂方格不相邻（即没有公共边）的格子进行涂色，当5号格子被涂色后停止涂色，记此时已被涂色的格子数为X，则___________.

15.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

（1）求B；

（2）若，的面积为，求的周长.

16.四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点.

（1）求证：平面平面；

（2）当为的一个三等分点，即时，求四面体的体积；

（3）当为中点时，求平面与平面夹角的大小.

17.已知函数.

（1）当时，求曲线在点处切线方程；

（2）若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围.

18.在11分制乒乓球比赛中，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为p，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立．已知在某局双方平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束，且．

（1）求p值；

（2）求再打2个球甲新增的得分Y的分布列和均值；

（3）记事件“，且甲获胜”的概率为，求．

19.已知双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为，为坐标原点．

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是MN的中点，直线MN、OQ的斜率分别为，证明：为定值；

（3）直线y=4x-6与双曲线的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点P1，过点P1且斜率为4的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点分别作的平行线，交于点，?，这样一直操作下去，可以得到一列点．证明：共线．

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