河北省衡水中学2024-2025学年高三上学期第一次综合素养测评数学试题（原卷版）.docx

2024-2025学年度高三年级上学期第一次综合素养测评

数学学科

注意：本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试时间120分钟.共4页，19个题目.

第I卷（选择题共58分）

一、单项选择题（每小题5分，共40分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1.已知不等式的解集为，不等式的解集为，则为（）

A. B. C. D.

2.已知，则向量与的夹角为（）

A. B. C. D.

3.如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及，从C点测得，已知山高，则山高MN=（）

A.120 B.150 C. D.160

4.已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（）

A. B. C. D.

5.已知双曲线的左、右焦点分别为，P是双曲线C的一条渐近线上的点，且线段的中点N在另一条渐近线上．若，则双曲线C的离心率为（）

A B. C.2 D.

6.点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（）

A； B.；

C.； D.；

7.已知函数的定义域为，且若，则的取值范围为（）

A. B.

C. D.

8.已知对恒成立，则的最大值为（）

A.0 B. C.e D.1

二、多项选择题（每题6分，共18分，每题给出的选项中有多项符合要求，全部选对得6分，错选得0分，部分选对得部分分）

9.若数列为递增数列，则的通项公式可以为（）

A. B. C. D.

10.函数的部分图象如图中实线所示，为函数与轴的交点，圆与的图象交于两点，且在轴上，则（）

A. B.圆的半径为

C.函数的图象关于点成中心对称 D.函数在上单调递增

11.已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若的面积等于4.则下列结论正确的是（）

A.若点是椭圆的短轴顶点，则椭圆的标准方程为

B.若是动点，则的值恒为2

C.若是动点，则椭圆的离心率的取值范围是

D.若是动点，则的取值范围是

第Ⅱ卷（非选择题共92分）

三、填空题（每题5分，共15分）

12.已知是第四象限角，且，则________.

13.已知，若，，，则a，b，c按从小到大排列为：________.

14.定义：对于函数和数列，若，则称数列具有“函数性质”.已知二次函数图象的最低点为，且，若数列具有“函数性质”，且首项为1的数列满足，记的前项和为，则数列的最小值为__________.

四、解答题（本大题有5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题纸的相应位置，否则无分数.）

15.已知数列为递增的等比数列，为数列的前项和，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）记为数列在区间中的所有项的和，求数列的前项和.

16.已知函数，.

（1）求函数最大值；

（2）设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值.

17.如图，抛物线是抛物线内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与抛物线相交于点与抛物线相交于点，，当恰好为线段的中点时，．

（1）求抛物线方程；

（2）求的最小值．

18.已知函数.

（1）若直线与函数的图象相切，求实数的值；

（2）若函数有两个极值点和，且，证明：.（为自然对数的底数）

19.法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：

①当三个内角均小于时，满足的点为费马点；

②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.

请用以上知识解决下面的问题：

已知的内角所对的边分别为，点为的费马点，且.

（1）求；

（2）若，求的最大值；

（3）若，求实数的最小值.