空间向量及其线性运算高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.pptx

1.1.1空间向量及其线性运算

知识点一空间向量及有关概念大小方向有向线段名称定义表示空间向量在空间,具有和的量?①几何表示法:空间向量用表示;?②字母表示法:用字母a,b,c,…表示,若向量的起点是A,终点是B,也可记作;③图形表示法:

大小长度|a|?名称定义表示向量的模(长度)空间向量a的,也就是表示向量a的有向线段AB的?或?零向量长度为的向量??单位向量模为的向量??相反向量与向量a相等而方向的向量?向量a的相反向量是?001长度相反-a

重合方向相等向量名称定义表示共线(平行)向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或,那么这些向量叫作共线向量或平行向量??相等向量相同且模相等的向量叫作相等向量.?在空间,同向且等长的有向线段表示同一向量或??规定:零向量与任意向量,即对于任意向量a,都有.?平行0∥a

?√×√?[解析]模为1的向量称为单位向量,显然单位向量不唯一.[解析]向量是一个“量”,而不是一个“数”,所以不能比较大小.

(4)若向量a与b都是单位向量,则a=b. ()(5)在空间中,互为相反向量的两个向量必共线. ()×√[解析]向量a与b都是单位向量,其模相等,但是其方向不一定相同,所以a与b不一定相等.[解析]模相等,且方向相反的向量为相反向量,显然,互为相反向量的两个向量必共线.

知识点二空间向量的线性运算1.空间向量的自由性任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内,成为同一平面内的两个向量,这样任意两个的运算就可以转化为的运算.?空间向量平面向量

2.空间向量的线性运算和三角形平行四边形b+aa+(b+c)运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量的运算?法则?法则?(1)加法交换律:a+b=;?(2)加法结合律:(a+b)+c=?

相反向量三角形a+(-b)运算定义法则(或几何意义)运算律减法减去一个向量相当于加上这个向量的?法则?a-b=?

向量数乘运算λa|λ||a|相同运算定义法则(或几何意义)运算律数乘实数λ与向量a的积是一个,这种运算叫作向量的,记作?(1)|λa|=.?(2)当λ0时,λa与a的方向;当λ0时,λa与a的方向;当λ=0时,λa=?(1)对向量加法的分配律:λ(a+b)=;?(2)对实数加法的分配律:(λ+μ)a=?相反0λa+λbλa+μa

?√√?体对角线

3.空间向量的加、减法运算与平面向量的加、减法运算是否相同?平面向量加、减法的运算律在空间向量中还适用吗?解:因为任意两个空间向量都可以通过平移转化到同一个平面内,所以任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算,由此可知,空间向量的加、减法运算与平面向量的加、减法运算相同.平面向量加、减法的运算律在空间向量中同样适用.

知识点三空间向量共线与共面的充要条件1.空间两向量共线的充要条件对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使.?2.空间直线的确定(1)直线的方向向量的定义在直线l上取,把与向量a的非零向量称为直线l的方向向量.?(2)空间直线的确定空间直线可以由其上一点和它的确定.?a=λb非零向量a平行方向向量

?平行重合

?平行于平面α在平面α内共面向量p=xa+yb图1-1-1

?√×√[解析]若p=xa+yb,则p与a,b一定共面.[解析]当a,b共线,而p与a,b不共线时,p=xa+yb是不成立的.?

?×?

2.一条直线的方向向量有多少个?解:根据直线方向向量的定义可知,一条直线有无数个方向向量.

1.空间向量的概念(1)两向量的关系:空间向量是具有大小和方向的量,两个向量之间只有等与不等之分,但不能比较大小,向量的模能比较大小.(2)有向线段与向量:向量可用有向线段来表示,但是有向线段不是向量,它只是向量的一种表示方法.(3)相等向量:方向相同且模相等的向量叫作相等向量.(4)向量的平移:任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内,成为同一个平面内的两个向量.

2.空间向量的数乘运算(1)含义:λa是实数λ与向量a的数乘运算.(2)λ的作用:λ的正负影响着向量λa的方向,λ的绝对值影响着向量λa的长度.(3)a的作用:向量λa与向量a一定是共线向量.

3.共线向量(1)类比理解:空间共线向量