专题2.4线段、角的轴对称性-【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【苏科版】.pdf

【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】

专题2.4线段、角的轴对称性

【名师点睛】

一、角平分线的性质：

二、角平分线的判定

三、线段垂直平分线的性质

四、线段垂直平分线的

【典例剖析】

【例1】（2019秋•广陵区校级月考）如图，在ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，

点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．

【分析】因为∠C＝90°，DE⊥AB，所以∠C＝∠DEB，又因为AD平分∠BAC，所以CD＝DE，已知

BE＝FC，则可根据SAS判定CDF≌EDB，根据全等三角形的性质即可得到结论．

【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，

∴DC＝DE，

在DCF和DEB中，，

∴DCF≌DEB，（SAS），

∴BD＝DF．

【变式1】（2021秋•如皋市期中）如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P

在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝PD．

【分析】过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根据垂直的定义得到∠PEC＝∠PFD＝90°，由OM

是∠AOB的平分线，根据角平分线的性质得到PE＝PF，利用四边形内角和定理可得到∠PCE+∠PDO＝

360°﹣90°﹣90°＝180°，而∠PDO+∠PDF＝180°，则∠PCE＝∠PDF，然后根据“AAS”可判断

PCE≌PDF，根据全等的性质即可得到PC＝PD．

【解答】证明：过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图，

∴∠PEC＝∠PFD＝90°，

∵OM是∠AOB的平分线，

∴PE＝PF，

∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，

∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，

而∠PDO+∠PDF＝180°，

∴∠PCE＝∠PDF，

在PCE和PDF中，

∴PCE≌PDF（AAS），

∴PC＝PD．

【例2】（2019秋•新北区期中）作图题：在∠ABC内找一点P，使它到∠ABC的两边的距离相等，

并且到点A、C的距离也相等．（写出作法，保留作图痕迹）

【分析】先作出∠ABC的角平分线，再连接AC，作出AC的垂直平分线，两条平分线的交点即为所求

点．

【解析】①以B为圆心，以任意长为半径画弧，分别交BC、AB于D、E两点；

②分别以D、E为圆心，以大于DE为半径画圆，两圆相交于F点；

③连接BF，则直线BF即为∠ABC的角平分线；

⑤连接AC，分别以A、C为圆心，以大于AC为半径画圆，两圆相交于H，G两点；

⑥连接GH交BF延长线于点P，则P点即为所求．

【例3】（2021秋•丹阳市期中）如图，在ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交

于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知ADE的周长为13cm．

（1）求线段BC；

（2）分别连接OA、OB、OC，若OBC的周长为27cm，则OA的长为7cm．

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得DA＝DB，EA＝EC，即可得到BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA

＝13cm；

（2）由BC＝13结合OB+OC+BC＝27得到OB+OC＝14，根据线段垂直平分线的性质可得OA＝OB＝

OC，继而求得OA的长．

【解析】（1）∵OM是线段AB的垂直平分线，

∴DA＝DB，

同理，EA＝EC，

∵ADE的周长13，

∴AD+DE+EA＝13，

∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝13（cm）；

（2）连接OB，OC，

∵OBC的周长为27，

∴OB+OC+BC