人教版九年级数学下册专项9二次函数的字母系数的相关问题（解析版）.docxVIP

专项09二次函数的字母系数的相关问题

1.二次函数中a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系

项目

字母

字母的符号

图象的特征

a

a＞0

开口向上

a＜0

开口向下

b

ab＞0(a，b同号)

对称轴在y轴左侧

ab＜0(a，b异号)

对称轴在y轴右侧

c

c=0

图象过原点

c＞0

与y轴正半轴相交

c＜0

与y轴负半轴相交

b2-4ac

b2-4ac=0

与x轴有唯一交点

b2-4ac＞0

与x轴有两个交点

b2-4ac＜0

与x轴没有交点

根据二次函数图像判断a，b，c的关系式与0的关系

关系式

实际比较

2a+b

比较

2a+b

比较

a+b+c

令x=1，看纵坐标

a-b+c

令x=-1，看纵坐标

4a+2b+c

令x=2，看纵坐标

4a-2b+c

令x=-2，看纵坐标

【考点1对称轴】

【典例1】如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A

A．b2?4ac0

C．图象的对称轴是直线x=2 D．图象的对称轴是直线x=

【答案】D

【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A

∴b2?4ac＞0，

当x=?1时，y=a?b+c,

由函数图像可得：(?1，a?b+c)在第三象限，

所以a?b+c＜0，故B不符合题意，

∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A

∴图象的对称轴是直线x=1+42=2.5，故C

故答案为：D

【变式1-1】二次函数y=ax2+bx+c

A．abc0 B．2a+b0 C．3b?2c0 D．3a+c0

【答案】D

【解答】解：∵?b

∴ab0，

∵抛物线与y轴交于正半轴，

∴c0，

∴abc0，

故A不符合题意；

∵?b

∴2a+b=0，

故B不符合题意；

∵x=?1时，

y=a-b+c0，

∴2a-2b+2c0，

∵?b

∴2a=?b，

∴-b-2b+2c0，

∴3b-2c0，

故C不符合题意；

∵x=?1时，

y=a-b+c0，

∵?b

∴2a=?b，

∴3a+c0，

故D符合题意；

故答案为：D．

【变式1-2】若A(m,6)与B(4?m,6)在抛物线y=ax

A．x=3B．x=?3C．x=2 D．x=2?m

【答案】C

【解答】解：∵A（m，6）与B（4-m，6）在抛物线y=ax

∴A（m，6），B（4-m，6）关于对称轴对称，

即对称轴过A（m，6），B（4-m，6）的中点，

x=m+4?m

故答案为：C．

【考点2a、b、c及b2-4ac对图像的影响】

【典例2】抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b＋c＝0；④8a﹣2b＋c＞0；⑤若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2，其中正确的有（）

A．②③④ B．①②③ C．②④⑤ D．②③

【答案】A

【解答】解：∵图象开口向上，

∴a＞0，

∵对称轴为直线x＝﹣1，

∴﹣b2a

∴b＝2a＞0，

∵图象与y轴交点在y轴负半轴，

∴c＜0，

∴abc＜0，①不符合题意．

由图象可知抛物线与x轴有两个交点，

∴Δ＝b2﹣4ac＞0，②符合题意，

由图象可知，抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），

当x＝﹣3时，y＝0，

∴9a﹣3b+c＝0，③符合题意，

8a﹣2b＋c中：a＞0、b＝2a＞0；c＜0

由（1,0）在抛物线上，可得a+b+c=0c=-a-b

所以8a﹣2b＋c=a＞0，④复合题

∵|﹣2﹣（﹣1）|＝1，|﹣0.5﹣（﹣1）|＝0.5，

∵1＞0.5，

∴当x＝﹣2时的函数值大于x＝﹣0.5时的函数值，

∴y1＜y2，⑤不符合题意，

∴正确的有②③④，

故答案为：A．

【变式2-1】如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3；⑤b＜c.其中正确的个数是（）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解答】解：∵抛物线开口向下，

∴a＜0；

∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣b2a

∴b＝﹣2a＞0，所以②正确；

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，

∴c＞0，

∴abc＜0，所以①错误；

∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（3，0），对称轴为直线x＝1，

∴抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣1，0），

∴x＝﹣2时，y＜0，

∴4a﹣2b+c＜0，所以③错误；

∵抛物线与x轴的2个交点坐标为（﹣1，0），（3，0），

∴﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④正确；

∵x＝﹣1时，y＝0，

∴a﹣b+c