2023年北京市初三一模数学试题汇编：平行四边形章节综合.docx

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2023北京初三一模数学汇编

平行四边形章节综合

一、解答题

1．（2023·北京通州·统考一模）如图，在四边形中，，E为的中点，请你用无刻度的直尺在图中画的边上的高线，小蕊的画法如下．请你按照小蕊的画法完成画图，并填写证明的依据．

画法：①连接，

②连接，交于点F，

③连接，交于点P

④作射线，交于点H，

∴即为所求的边上的高线

证明：

∵，E为的中点，

∴．

∵，

∴四边形是平行四边形．___________________________．

∴点F是中点．____________________________．

∴是的中线

∴是的中线

∵

∴是边上的高线．______________________________．

2．（2023·北京丰台·统考一模）在正方形中，点O为对角线的中点，点E在对角线上，连接，点F在直线上（点F与点D不重合），且．

(1)如图1，当点E在线段上（不与端点重合）时．

①求证：；

②用等式表示线段，，的数量关系并证明；

(2)如图2，当点E在线段上（不与端点重合）时，补全图形，并直接写出线段，，的数量关系．

3．（2023·北京顺义·统考一模）如图，的对角线，相交于点O，将对角线向两个方向延长，分别至点E和点F，且使．

(1)求证：四边形是平行四边形；

(2)若，求证：四边形是矩形．

4．（2023·北京朝阳·统考一模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E，F在上，，连接．

(1)求证：四边形为平行四边形；

(2)若，求证：四边形是矩形．

5．（2023·北京延庆·统考一模）如图，在平行四边形中，连接，，点M为边的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接．

(1)求证：四边形是矩形；

(2)若，，求四边形的面积．

6．（2023·北京西城·统考一模）在中，是边上的中线，点E在线段上，点F在线段的延长线上，，连接，．

(1)如图1，求证：四边形是平行四边形．

(2)若，

①依题意补全图2；

②求证：四边形为菱形.

7．（2023·北京房山·统考一模）如图，中，对角线、交于点，在上截取．

(1)求证：四边形是矩形；

(2)若，求证：平分．

8．（2023·北京海淀·统考一模）如图，正方形中，点E，F分别在上，交于点G．

(1)求的度数；

(2)在线段上截取，连接的角平分线交于点N．

①依题意补全图形；

②用等式表示线段与的数量关系，并证明．

9．（2023·北京丰台·统考一模）如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点．

(1)求证：四边形是矩形；

(2)连接交于点，连接．若，，求的长．

二、填空题

10．（2023·北京通州·统考一模）在中，，将一个直角尺的直角顶点O与边上的中点D重合，并绕点D旋转，分别交于点E、F，如果四边形恰巧是正方形，则的长度为__________．

11．（2023·北京海淀·统考一模）如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接．若，则的长为_________．

参考答案

1．见解析

【分析】先根据题意画图，然后根据已知条件填写依据即可．

【详解】

∵，E为的中点，

∴．

∵，

∴四边形是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），

∴点F是中点．（平行四边形对角线互相平分），

∴是的中线，

∴是的中线，

∵，

∴是边上的高线．（等腰三角形底边上的中线也是底边上的高）．

【点睛】此题考查平行四边形的性质与判断和等腰三角形的性质，解题关键是根据已知条件灵活使用平行四边形的性质和判定．

2．(1)①见解析；②，证明见解析；

(2)图见解析，．

【分析】（1）连接，证明，，可得，，，从而可得答案；②过点E作交于点G，证明，，再证明，可得，从而可得结论；

（2）先补全图形，过点E作于N，交于M，证明，可得，由线段的和差关系可求解．

【详解】（1）①证明：连接．

四边形是正方形

，．

点E在对角线上

，

．

，．

，

．

．

②；

证明：过点E作交于点G．

，

．

，，

，

，

，，

，

．

．

（2）补全图形如下：

如图2，过点E作于N，交于M，

∵四边形是正方形，

∴，，，

∵，

∴四边形是矩形，是等腰直角三角形，

∴，，，，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∵，

∴．

即．

【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．

3．(1)见解析；

(2)见解析．

【分析】（1）由四边形是平行四边形易知，，再证得，即可得出结论．

（2）根据四边形是平行四边形，得，，再根据，得，即可得出