专题02勾股定理（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年八年级数学下学期期中期末考点大串讲（人教版）（原卷版）.pdfVIP

专题02勾股定理

一．勾股定理（共4小题）二．勾股定理的证明（共4小题）

三．勾股定理的逆定理（共7小题）四．勾股数（共3小题）

五．勾股定理的应用（共7小题）

知识点一、直角三角形直角边与斜边之间的大小关系

定理：在直角三角形中，斜边大于直角边.

知识点二、勾股定理

c

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为，那

么a2+b2=c2.

要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样

就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

（3）理解勾股定理的一些变式：

22222222

a=c-b，b=c-a，c=a+b-2ab.

知识点三、勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图（1）中，所以.

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

图（2）中，所以.

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

，所以.

知识点四、勾股定理的作用

1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；

2.用于解决带有平方关系的证明问题；

3.利用勾股定理，作出长为的线段.

知识点五、勾股定理的逆定理

如果三角形的三条边长a，b，c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.

知识点六、如何判定一个三角形是否是直角三角形

c

（1）首先确定最大边（如）.

（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系.若c2=a2+b2，则△ABC是∠C=90°的直角三角形；若

c2¹a2+b2，则△ABC不是直角三角形.

要点诠释：当a2+b2c2时，此三角形为钝角三角形；当a2+b2c2时，此三角形为锐角三角形，其中

c为三角形的最大边.

知识点七、勾股数

满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x、y、z

为三边长的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：

①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……

t

如果(a、b、c)是勾股数，当为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角

形.

要点诠释：（1）n2-1，2n，n2+1（n1,n是自然数）是直角三角形的三条边长；

（2）2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1（n是自然数）是直角三角形的三条边长；

2222

（3）m-n,m+n,2mn（mn,m、n是自然数）是直角三角形的三条边长；

一．勾股定理（共4小题）

1．（2022春•乾安县期中）直角三角形的两边长分别为6和10，那么它的第三边的长度为（）

A．8B．10C．8或2D．10或2

2．（2021春•沂水县期中