第五章-非稳态问题的求解方法.docVIP

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非稳态问题的求解方法

通用输运方程

(STYLEREF1\s5SEQ(\*ARABIC\s11)

显式Euler方法

考虑1D,定速度，常物性，无源项的特例

(STYLEREF1\s5SEQ(\*ARABIC\s12)

时间向前，空间中心差分，得FD与FV相同形式代数方程(STYLEREF1\s5SEQ(\*ARABIC\s13)

可写成

(STYLEREF1\s5SEQ(\*ARABIC\s14)

其中

(STYLEREF1\s5SEQ(\*ARABIC\s15)

d表示时间步长与特征扩散时间的比。后者代表一个扰动由于扩散通过?x一段距离所需时间。

c表示时间步长与特性对流传递时间的比。后者代表一个扰动由于对流通过?x一段距离所需时间。

c成为Courantnumber,为CFD中一个关键的参数。

此格式为时间为1阶精度，空间为2阶精度。

方程（4）内的系数在某些条件下，可能会是负值。用矩阵表示：

(STYLEREF1\s5SEQ(\*ARABIC\s16)

观察函数：

(STYLEREF1\s5SEQ(\*ARABIC\s17)

如果系数矩阵A的本征值中有大于1，则?随着n的增加而增加。如果本征值全部小于1，则?是递减的。一般本征值很难求得，对于本特例，它的解可用复数形式表示

(STYLEREF1\s5SEQ(\*ARABIC\s18)

其中，?为波数，可取任意值。

无条件发散：?n无条件随n增加????1

无条件稳定：?n无条件随n降低????1

代入差分方程，得到本征值为：

(STYLEREF1\s5SEQ(\*ARABIC\s19)

考虑特殊情况，

无扩散：d=0,??0,无条件发散，充分条件

无对流：c=0,?当cos?=-1时，?最大，?d1/2，无条件收敛，充分条件

从另一个稳定条件考虑，要求系数矩阵A的所有系数为正，可得到类似稳定性条件：（充分条件）

(STYLEREF1\s5SEQ(\*ARABIC\s110)

第一个条件要求

(STYLEREF1\s5SEQ(\*ARABIC\s111)

表示，每当?x减少一半，时间步长需减少到1/4.

第二个条件要求

(STYLEREF1\s5SEQ(\*ARABIC\s112)

这同前述的用1D稳态对流/扩散问题的CDS要求是一致的。

使用UDS代替UDS，可得差分方程

(STYLEREF1\s5SEQ(\*ARABIC\s113)

其代数方程

(STYLEREF1\s5SEQ(\*ARABIC\s114)

此方程的邻点的系数总是正的，因此它们不会引起不稳定，但?I的系数有可能是负值。它的时间步长应满足

(STYLEREF1\s5SEQ(\*ARABIC\s115)

对流可忽略时，结论同式11，即d0.5。

扩散可忽略时，

(STYLEREF1\s5SEQ(\*ARABIC\s116)

即库仑数小于1。它可解释为：一个流体粒子不能在一个单一时间步长内不能穿过一个网格。

Leapfrog方法

三步方法。将中间点法则用于2?t的间隔上。

(STYLEREF1\s5SEQ(\*