空间向量及其运算导学案- 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.docxVIP

1.1.1空间向量及其线性运算导学案

姓名:班级：日期：月日

一：学习目标

理解空间向量的概念

掌握空间向量的线性运算

掌握共线向量定理，共面定理及其推论的应用

二：思维框架

三：自学预习

（一）：空间向量的有关概念

空间向量的概念及表示

平面向量

空间向量

定义

在平面，具有大小和方向的量

在空间，具有大小和方向的量

长度或模

平面向量的大小

空间向量的大小

表示方法

AB或a

AB或a

零向量

长度为0的向量，记为0

长度为0的向量，记为0

单位向量

长度为1的向量

长度为1的向量

相等向量

方向相同且模相等的向量

方向相同且模相等的向量

相反向量

方向相反且模相等的向量，记作—a

方向相反且模相等的向量，记作—a

共线向量（平行向量）

方向相同或相反的非零向量

方向相同或相反的非零向量

（二）：空间向量的线性运算

线性运算

加法

a+b=OA+AB=OB

减法

a?b=OA

数乘

当λ0时，λa=λOA=PQ(同向）

当λ0时，λa=λOA=MN（反向）

当λ=0时，λa=0

运算律

交换律：a+b=b+a

结合律：a+(b+c)=(a+b)+c，λ（μa)=(λμ)a

分配律：（λ+μ）a=λa+μaλ（a+b）=λa+λb

（三）：共线向量与共面向量

空间两个向量共线的充要条件

对于任意两个空间向量a，b（b≠0),a//b的充要条件是存在实数λ，使得a=λb

直线的方向向量

在直线l上取非零向量a，我们把与a平行的非零向量称为直线L的方向向量。

共面向量

如图，如果表示向量a的有向线段OA所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l,如果直线OA平行于平面ɑ或在平面ɑ内，那么称向量a平行于平面ɑ，平行于同一平面的向量，叫做共面向量。

▲任意两个空间向量总是共面

向量共面的充要条件

如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x,y），使p=xa+yb。

若空间中P,A,B,C四点共面?Op=xOA+yOA+zOC

点拨：用于快速解决四点共面的求参问题，注意O不在平面ABC内。

四:课堂探究

探究一：空间向量的线性运算

CB

C

B

D

AAA—CB

A

FDCAA+AB

F

D

C

EAB(3)AB—AD+BD

E

A

B

(4)AB+

探究二：向量共线问题

例2：在正方体ABCD—ABCD中，E在AD上，使得AE=2ED，F在对角线AC上，且AF=FC求证：E,F，B三点共线

探究三：向量共面问题

课本p5例3：如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点О作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使.

求证：E，F，G，H四点共面.

五：课堂归纳

六：课程收获

你收获了什么！