重难点突破08 利用导数解决一类整数问题（四大题型）（原卷版）.docxVIP

重难点突破08利用导数解决一类整数问题

目录TOC\o1-2\h\z\u

01方法技巧与总结 2

02题型归纳与总结 2

题型一：整数解问题之分离参数、分离函数、半分离 2

题型二：整数解问题之直接限制法 3

题型三：整数解问题之虚设零点 4

题型四：整数解问题之必要性探路 5

03过关测试 7

利用导数解决一类整数问题常见技巧有：

1、分离参数、分离函数、半分离

2、直接限制法

3、虚设零点

4、必要性探路

题型一：整数解问题之分离参数、分离函数、半分离

【典例1-1】（2024·高三·江西·期末）若集合中仅有2个整数，则实数k的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【典例1-2】若函数有两个零点，且存在唯一的整数，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【变式1-1】（2024·高三·福建泉州·期中）关于的不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则实数a的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

【变式1-2】已知函数，若不等式的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围是（???）

A． B． C． D．

【变式1-3】若关于的不等式的解集中恰有个整数，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【变式1-4】（多选题）（2024·高三·广东揭阳·期末）已知函数，且存在唯一的整数，使得，则实数a的可能取值为（????）

A． B． C． D．

【变式1-5】（2024·河南·模拟预测）已知函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是.

题型二：整数解问题之直接限制法

【典例2-1】（2024·全国·模拟预测）若对于，，使得不等式恒成立，则整数x的最大值为．

【典例2-2】（2024·河南南阳·一模）已知函数在区间上有最小值，则整数的一个取值可以是．

【变式2-1】（2024·高三·重庆·期中）若关于x的不等式的解集中恰有三个整数解，则整数a的取值是（????）(参考数据:ln2≈0.6931，ln3≈1.0986)

A．4 B．5 C．6 D．7

【变式2-2】（2024·海南海口·模拟预测）过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的一个可能值为．

【变式2-3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的图象在处的切线过原点．

(1)求的值；

(2)设，若对总，使成立，求整数的最大值．

【变式2-4】已知函数.

(1)当时，证明：；

(2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.

【变式2-5】（2024·江西·模拟预测）已知函数.

(1)求函数在区间上的最大值；

(2)若为整数，且关于的不等式恒成立，求整数的最小值.

题型三：整数解问题之虚设零点

【典例3-1】已知函数．

(1)若，求在处的切线方程；

(2)当时，恒成立，求整数a的最大值．

【典例3-2】（2024·高三·陕西西安·期末）已知函数，对任意的，关于的方程有两个不同实根，则整数的最小值是（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）当时，恒成立，则整数的最大值为（????）

A．3 B．2 C．1 D．0

【变式3-2】（2024·浙江·三模）已知函数，，对任意，存在使得不等式成立，则满足条件的的最大整数为.

【变式3-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，不等式恒成立，求整数的最大值．

题型四：整数解问题之必要性探路

【典例4-1】（2024·安徽合肥·三模）对于定义在上的函数，若存在，使得，则称为的一个不动点．设函数，已知为函数的不动点．

(1)求实数的取值范围；

(2)若，且对任意满足条件的成立，求整数的最大值．

（参考数据：，，，，）

【典例4-2】已知函数，对，不等式恒成立，则整数的最大值是.

【变式4-1】（2024·浙江台州·一模）设

(1)求证：；

(2)若恒成立，求整数的最大值．（参考数据，）

【变式4-2】已知，函数，．

(1)若，求证：在上是增函数；

(2)若存在，使得对于任意的成立，求最大的整数的值．

【变式4-3】已知函数.

(1)当时，求的最小值；

(2)若在上恒成立，求整数a的最小值.

【变式4-4】，对，，求整数的最小值．

1．已知函数，若有且只有两个整数使得，且，则实数的取值范围为（）

A． B． C． D．

2．（2024·全国·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的最小整数为．

3．（2024·云南·三模）设函数，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是.

4．（20