重难点突破07 立体几何中求角度、线段、距离（解析版）.docxVIP

重难点突破07立体几何中求角度、线段、距离

1．四棱锥中，四边形为菱形，，，平面平面．

（1）证明：；

（2）若，且与平面成角为，点在棱上，且，求平面与平面的夹角的余弦值．

【解答】解：（1）证明：因为四边形为菱形，

所以，

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

因为平面，故．

（2）设，则为、的中点，

又因为，

所以，

又因为平面，平面，

所以，

因为，、平面，

所以平面，

所以为与平面所成角，故，

由于四边形为边长为，的菱形，

所以，，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系：

则，，，1，，，，，，0，，

由，

得，且，

设平面的法向量为，

则，

取，则，，

所以，

又平面的一个法向量为，

所以，

所以平面与平面的夹角的余弦值为．

2．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，的中点为．

（1）求证：平面．

（2）若，求二面角的余弦值．

【解答】解：（1）证明：设，连接，

由于，分别是，的中点，

所以，

由于平面，平面，

所以平面．

（2）设是的中点，连接，，

则，

所以平面，

由于，平面，

所以，，

由于，，，平面，

所以平面，

因为平面，

所以，则，

以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系：

平面的一个法向量为，

，，

设平面的法向量为，

则，

令，则，，

故可设，

设二面角为，由图可知为锐角，

所以，

所以二面角的余弦值为．

3．在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，点在底面上的射影为棱的中点，且与底面所成角为，点为线段上一动点．

（1）证明：；

（2）若，求点到平面的距离．

【解答】证明：（1）分别连接，，为中点，为等边三角形，

，点在底面上的投影为点，平面，

又平面，，

又，平面，平面，

面，

又面，．

解：（2）设点到平面的距离为，点到面的距离为，

，，

为在底面上的投影，为与面所成角，，

垂直平分，，为正三角形，，

中，易得，

，到的距离为，

，又，

由，，

，

，

点到平面的距离为．

4．如图，在四棱柱中，侧棱平面，，，，，为棱的中点．

（1）证明：．

（2）设，若到平面的距离为，求．

【解答】证明：（1）以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

则，0，，，0，，，0，，，2，，，4，，，4，，所以，0，，，2，，

所以，

所以，即；

解：（2）因为，4，，，2，，

所以，，，

设平面的法向量为，，，

所以，即，令，解得，0，，

因为，0，，

所以到平面的距离，

由题意可知，解得．

5．如图，正三棱柱中，各棱长均为4，是的中点．

（1）求点到直线的距离；

（2）求点到平面的距离．

【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

是的中点，

，4，．

（1），则．

设点到直线的距离为，

则．

（2）设平面的一个法向量为，

则由，

得，

令，则，即．

易知，设点到平面的距离为，

则．

6．如图，在正三棱柱中，，此三棱柱的体积为，为侧棱上点，且，、分别为、的中点．

（1）求此三棱柱的表面积；

（2）求异面直线与所成角的大小；

（3）求与平面所成角的大小．

【解答】解：（1）设底面正三角形的边长为，则其面积为，

三棱柱的体积为，

，解得，

三棱柱的侧面积为，

三棱柱的表面积为．

（2）如图，

取的中点，连接，，可得，

异面直线与所成角，即为直线与所成角，

，

在直角△中，有，

在直角中，有，

取的中点，连接，，

在直角中，有，

在中，由余弦定理得：

，

异面直线与所成角的大小为；

（3）如图，

取的中点，可得，

由正三棱柱的结构特征易知平面平面，

又平面平面，

平面，

直线与平面所成的角即为，

在△中，，

又，

在△中，

，

．

7．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，为中点，且．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的余弦值．

【解答】解：（1）如图，

连接，交于点，连接，

为中点，为中点，

，

又平面，平面，

平面；

（2）如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，1，，，0，，

，1，，，

，

由题有轴面，显然向量是平面的一个法向量，

设直线与平面所成角为，则，

，

，

即直线与平面所成角的余弦值为．

8．如图正方体中，棱长为，、分别为、的中点．

（1）求证：；

（2）求与平面所成角的大小．

【解答】解：（1）证明：如图，

以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系．

则，0，，，0，，，，，，0，，

，0，，，，，，，，，0，，

（1），，，，0，，

，

；

（2）解：，0，，，，，，，，

，，，，，，，

设平面的一个法向量为，，，则即，

令，则，，所以，

设与平面所成角的大小为，

则，，

与平面所成角的大小为．

9．如图，正方体的棱长为2．

（1）用空间