重难点突破06 立体几何中轨迹、翻折、探索性问题（解析版）.docxVIP

重难点突破06立体几何中轨迹、翻折、探索性问题

一．选择题（共3小题）

1．如图，点是棱长为2的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为

A． B． C． D．

【解答】解：若直线与平面所成的角为，则点的轨迹为圆锥的侧面与正方体的表面的交轨，

在平面内，点的轨迹为对角线（除掉点，不影响）；

在平面内，点的轨迹为对角线（除掉点，不影响）；

在平面内是以点为圆心2为半径的圆弧，如图，

故点的轨迹长度为．

故选：．

2．如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为4和6，侧棱长为2，点在侧面内运动（包含边界），且与平面所成角的正切值为，则所有满足条件的动点形成的轨迹长度为

A． B． C． D．

【解答】解：依题意，延长正三棱台侧棱相交于点，取中点，

中点，连接，，，则有，

所以的延长线必过点且，，

过点作，，则四边形是边长为2的菱形，

如图所示：

在中，，即，

解得，所以，

所以为边长为6等边三角形，

所以，，

所以，

因为是边长为3的等边三角形且为中点，

所以，，

在中，由余弦定理得：

，

在中，由余弦定理得：

，

解得，所以，所以，

由，，，，平面，

可得平面，

又平面，所以，

由，，，，平面，

可得平面，

因为与平面所成角的正切值为，

所以，解得，，

所以点在平面的轨迹为以为原点的圆被四边形所截的弧，，

设的长度为，则，

所以所有满足条件的动点形成的轨迹长度为．

故选：．

3．已知正方体中，，点为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若，则点的轨迹所围成的面积为

A． B． C． D．

【解答】解：如图所示，连接交平面于，连接，

由题意可知平面，所以是与平面所成的角，

所以，由，可得，即，

在四面体中，，，

所以四面体为正三棱锥，为的重心，如图所示：

所以解得，，

又因为，所以，

即在平面内的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，

所以．

故选：．

二．多选题（共2小题）

4．正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点，则正确的是

A．

B．平面

C．点、到平面的距离相等

D．若为底面内一点，且，则点的轨迹是线段

【解答】解：以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，1，，，1，，

，1，，，1，，，，，

，

，

，故错误；

．设平面的法向量为，

，

，

则，，令，则，

且平面，

平面；

，

，

点到平面的距离为，

点到平面的距离为，

点、到平面的距离相等，故正确；

．设，，，

，

，

，，

，1，，，，

点坐标满足且，，

故点的轨迹是一条线段，故正确．

故选：．

5．已知直四棱柱，底面是菱形，，且，为的中点，动点满足，且，，，则下列说法正确

A．当平面时，

B．当时，的最小值为

C．若，则的轨迹长度为

D．当时，若点为三棱锥的外接球的球心，则的取值范围为

【解答】解：因为动点满足，且，，，

所以点为矩形内一点（含边界），

对于选项，取的中点，中点，连接，，

因为为的中点，所以，

又平面，平面，

所以平面，

同理，平面，平面，

所以平面，

又，，平面，

所以平面平面，

因为平面，则的轨迹是线段，

所以，

又，所以，，，故错误；

对于选项，因为，，且，，，，

所以，所以，，，

所以的轨迹是，

由已知，，所以，又，

所以四边形为正方形，所以的最小值为，故正确；

对于选项，分别取，中点，，

因为底面为菱形，所以，

又平面，平面，所以，

又，且两直线在平面内，

所以平面，

又平面，所以．

因为四边形为正方形，所以，

又，，平面，

所以平面，所以的轨迹为，

又，故错误；

对于，取的中点，连接交于点，过作交于点，

当时，，，

所以的轨迹是线段，

因为为等边三角形，为的中点，所以，

又因为为三棱锥的外接球球心，所以，

所以点在直线上，

在中，，则点在线段的垂直平分线上，

所以点为直线与线段的垂直平分线的交点，

当与重合时，点为；

当与重合时，点为；

当在线段上时，点在线段上；

因为，所以，，

因为，，，且，所以的取值范围是，故正确．

故选：．

三．解答题（共10小题）

6．如图，在三棱柱中，△为等边三角形，四边形为菱形，，，．

（1）求证：平面；

（2）线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．

【解答】（1）证明：如图，连接与相交于点，连接，

四边形为菱形，，

△为等边三角形，是的中点，

，

又、面，，

面，又面，

，

又，，，平面，

平面．

（2）解：设，分别为，的中点，连接，，

由（1）平面，所以平面面，作，所以有平面，

又因为△为等边三角形，，平面

以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

则，，，，2，，，2，，，

，，，

设，，

则，，

设平面的一个法向量，

则有，

当时，则，则