重难点突破05 立体几何中最值、范围问题（解析版）.docxVIP

重难点突破05立体几何中最值、范围问题

一．选择题（共5小题）

1．已知二面角的平面角为，与平面所成角为．记的面积为，的面积为，则的取值范围为

A． B． C． D．

【解答】解：作，垂足为，连接，

，即，，，平面，

平面，平面，

，又，故平面，平面，

为在内的射影，则为与平面所成角，即，

，，

为二面角的平面角，即，

，

在中，由正弦定理有：

，

，

，又，

，，又，

，即，．

故选：．

2．在正方体中，点为棱上的动点，则与平面所成角的取值范围为

A． B． C． D．

【解答】解：设，连接，则，

因为在正方体中，平面，平面，

所以，

因为，，平面，

所以平面，

所以即为与平面所成角．

设，，

因为，

所以，

因为，所以．

故选：．

3．在如图所示的几何体中，底面是边长为2的正方形，，，，均与底面垂直，且，点，分别为线段，的中点，则下列说法错误的是

A．直线与平面平行

B．三棱锥的外接球的表面积是

C．点到平面的距离为

D．若点在线段上运动，则异面直线和所成角的取值范围是

【解答】解：如图建立空间直角坐标系，可得，0，，，2，，，2，，，0，，

，0，，，2，，，2，，，0，，，2，，，2，，

对于，2，，

设平面的法向量，，，

，2，，，2，，

所以，

令，得，，

所以，1，，

所以，2，，1，，

所以直线与平面平行，选项正确；

对于：三棱锥的外接球的球心为，，，

则，

所以，

解得，，

，

所以三棱锥的外接球的体积为，选项正确；

对于，

，

，

，

所以，

所以，

，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以点到平面的距离为，选项正确；

对于：设，0，，

，，，，0，，

所以，

，，

所以异面直线和所成角的取值范围是，．选项错误．

故选：．

4．在正方体中，棱长为2，平面经过点，且满足直线与平面所成角为，过点作平面的垂线，垂足为，则长度的取值范围为

A． B． C． D．

【解答】解：如图所示，连接，因为，所以，

又因为直线与平面所成角为，即，所以，

所以在如图所示的圆锥底面上，所以，

易知，，，

所以，

所以，．

故选：．

5．在长方体中，，，是的中点，点在线段上（包含端点），若直线与平面所成的角为，则的取值范围是

A． B． C． D．

【解答】解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，0，，，0，，，2，，，1，，，2，，

设，则，，，

则，，，，，

设平面的法向量为，，，则，

令，得，，所以，

所以，

由于，所以，

所以．

故选：．

二．解答题（共10小题）

6．如图4，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，为的中点．

（1）证明：；

（2）记二面角的大小为，时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．

【解答】（1）证明：如图，作的中点，连接，，

在等腰梯形中，，为，的中点，

，

在正中，为的中点，

，

，，，，平面，

平面，

又平面，．

（2）解：平面，

在平面内作，以为坐标原点，以，，，分别为，，，轴正向，如图建立空间直角坐标系，

，，为二面角的平面角，即，，0，，，，0，，，，，

设平面的法向量为，，，

则有，，即，可得令，，，

即，，，

又，

，

，，

．

7．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，，分别是线段，的中点，在平面内的射影为．

（1）求证：平面；

（2）若点为棱的中点，求点到平面的距离；

（3）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围．

【解答】证明：（1）法一：连结，为等边三角形，为中点，，

又平面，平面，

，，平面

平面，又平面，，

由题设知四边形为菱形，，

，分别为，中点，，，

，，，平面，

平面．

法二：由平面，，平面，，，

又为等边三角形，为中点，，

则以为坐标原点，所在直线为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，

，，

，

，

又，，，平面，平面．

解：（2）由（1）坐标法得，

平面的一个法向量为，

点到到平面的距离．

解：（3），

设，则，

，，；

由（1）知平面，

平面的一个法向量

设平面的法向量，

则，，即，令，则，，，

，

令，则，

，

，，，，

即锐二面角的余弦值的取值范围为．

8．在棱长均为2的正三棱柱中，为的中点．过的截面与棱，分别交于点，．

（1）若为的中点，试确定点的位置，并说明理由；

（2）在（1）的条件下，求截面与底面所成锐二面角的正切值；

（3）设截面的面积为，面积为，面积为，当点在棱上变动时，求的取值范围．

【解答】解：（1）在平面内延长，相交于点，

则平面，又平面，

则有平面平面，，即，，三点共线，

因为为的中点，为的中点，所以，所以，

又因为，所以，

所以，即点为棱上靠近点的三等分点．

（2）在平面内延长，相交于点，连接，

则平面平