重难点突破05 利用导数研究恒(能)成立问题（十一大题型）（原卷版）.docxVIP

重难点突破05利用导数研究恒(能)成立问题

目录TOC\o1-2\h\z\u

01方法技巧与总结 2

02题型归纳总结 3

题型一：直接法 3

题型二：端点恒成立 5

题型三：端点不成立 6

题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离 7

题型五：洛必达法则 9

题型六：同构法与朗博同构 10

题型七：必要性探路 11

题型八：max，min函数问题 13

题型九：构造函数技巧 14

题型十：双变量最值问题 16

题型十一：恒成立问题求参数的具体值 17

03过关测试 18

1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：

（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；

（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．

2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），．

3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，，，．

（1）若，，有成立，则；

（2）若，，有成立，则；

（3）若，，有成立，则；

（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集．

4、法则1若函数和满足下列条件：

（1）及；

（2）在点的去心HYPERLINK邻域内，与可导且；

（3），

那么=．

法则2若函数和满足下列条件：（1）及；

（2），和在与上可导，且；

（3），

那么=．

法则3若函数和满足下列条件：

（1）及；

（2）在点的去心HYPERLINK邻域内，与可导且；

（3），

那么=．

注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

（1）将上面公式中的，，，洛必达法则也成立．

（2）洛必达法则可处理，，，，，，型．

（3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限．

（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．

，如满足条件，可继续使用洛必达法则．

题型一：直接法

【典例1-1】（2024·河南信阳·模拟预测）已知函数，．

(1)试比较与的大小；

(2)若恒成立，求的取值范围．

【典例1-2】（2024·山西·模拟预测）已知函数，，.

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时，恒成立，求的取值范围.

【变式1-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数.

(1)讨论的零点个数；

(2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.

【变式1-2】（2024·湖南衡阳·三模）已知函数.

(1)当时，求函数在点处的切线方程；

(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【变式1-3】（2024·四川成都·模拟预测）设

(1)当，求函数的零点个数.

(2)函数，若对任意，恒有，求实数的取值范围

题型二：端点恒成立

【典例2-1】（2024·广西·三模）已知函数.

(1)求函数的极值；

(2)若对任意，求的取值范围.

【典例2-2】（2024·四川·模拟预测）已知函数．

(1)若有3个极值点，求的取值范围；

(2)若，求的取值范围．

【变式2-1】（2024·山西·三模）已知函数

(1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)当时，恒成立，求的取值范围

【变式2-2】（2024·河北·模拟预测）已知函数，.

(1)当时，求的极值；

(2)当时，恒成立，求的取值范围.

题型三：端点不成立

【典例3-1】（2024·河南郑州·模拟预测）已知．（）

(1)讨论的单调性；

(2)若，且存在，使得，求的取值范围．

【典例3-2】（2024·山东泰安·三模）已知函数.

(1)讨论的最值；

(2)若，且，求的取值范围.

【变式3-1】（2024·四川·模拟预测）已知函数（，）在点处的切线方程为．

(1)求函数的极值；

(2)设（），若恒成立，求的取值范围．

【变式3-2】（2024·安徽合肥·模拟预测）.

(1)若的图象在点处的切线经过原点，求；

(2)对任意的，有，求的取值范围.

【变式3-3】（2024·浙江金华·三模）已知函数在（为自然对数的底数）处取得极值．

(1)求实数a的值；

(2)若不等式恒成立，求k的范围．

题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离

【典例4-1】（2024·陕西咸阳·三模