重难点突破04 导数中的取整问题（解析版）.docxVIP

重难点突破04导数中的取整问题

一．选择题（共6小题）

1．（2023春?孝感期中）已知函数，若的解集为，且中恰有一个整数，则实数的取值范围是

A． B．

C． D．

【解答】解：由，得，

令，则，

当时，，在上递增，

当时，，在上递减，

令，画出，的图象如图：

根据条件，由图象，可得，解得，．

故选：．

2．（2023春?石家庄期中）已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是

A． B． C． D．

【解答】解：已知函数，则有且只有一个负整数解．

令，则，

当时，，

当时，，

所以在上递减，在上递增，

当时，取得最小值为，

设，则恒过点，

在同一坐标系中分别作出和的图象，如图所示：

显然，依题意得且，即且，解得，

所以实数的取值范围是．

故选：．

3．（2023春?安徽期中）已知函数，直线，若有且仅有一个整数，使得点，在直线上方，则实数的取值范围是

A．， B．， C． D．

【解答】解：点，在直线上方，即，

因为，

所以有且仅有一个正整数解．

，

则，，单调递增；

，，单调递减，

所以．

又，；，；，，故可得图象如下图，

直线过定点，

当，有无数个正整数解，不合题意，故，

又有且仅有一个正整数解，故2是唯一的正整数解，即．

故选：．

4．（2022秋?萍乡期末）已知函数，，若关于的不等式在区间内有且只有两个整数解，则实数的取值范围为

A．， B． C．， D．

【解答】解：显然，

由，得，得，

得，

令，，则，

所以函数区间内为增函数，

所以可化为，即，即，

所以关于的不等式在区间内有且只有两个整数解，

令，则，

令，得，令，得，

所以在上为减函数，在上为增函数，

因为关于的不等式在区间内有且只有两个整数解，

结合图形可知，满足题意的整数解只能是1和2，

所以（2）（3），即．

故选：．

5．（2023?长沙模拟）已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围

A．， B．，

C．， D．，

【解答】解：函数，不等式化为：．

分别令，．

．

可得：函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．

，（2）．如图所示．

不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，

正整数解为1，2，

，即．

解得：．

数的取值范围是，．

故选：．

6．（2023?浑南区一模）已知不等式的解集中仅有2个整数，则实数的取值范围是

A． B．

C． D．

【解答】解：法：由，得，

令，则，

设，即，可得，

在单调递增，在，单调递减，

当的解中仅有2个整数为1，2，

则需满足，可得；

法：由，得，

设，，，

令，得，即在单调递增，在，单调递减，

当时，可以有无数个整数解，不满足题意；

当时，如图所示：

需满足，得，

故选：．

二．多选题（共6小题）

7．（2023春?浙江期中）对于函数，则下列说法正确的是

A．有极大值，没有极小值

B．有极小值，没有极大值

C．若关于的不等式有唯一的负整数解，则实数的取值范围是

D．若过点与曲线相切的直线有3条，则实数的取值范围是

【解答】解：对于、，

令得，

所以在上，单调递减，

在上，单调递增，

所以，没有极大值，故错误，正确；

对于：由上可知，

时，；时，，

当时，不等式，有无数个负整数解，

当时，恒过点，

此时与交点的横坐标为正数，不妨设为

所以当时，，

所以有无数个负整数解，

当时，若不等式有唯一的负整数解，

则，解得，

综上所述，的取值范围为，，故正确；

对于：设切点的坐标为，，

所以，且，

又切线过点，

所以，

所以，

所以，

因为过点与曲线相切的直线有3条，

所以方程有三个解，

令，

，

所以在上，，单调递减，

在上，，单调递增，

在上，，单调递减，

所以，（1），

所以时，；时，，

所以，故正确，

故选：．

8．（2023?黄州区校级三模）已知函数，若不等式有且只有三个整数解，则实数的取值可以为

A． B． C． D．

【解答】解：因为定义域为，由，

可得，

即不等式有且只有三个整数解，

令，则，所以当时，

当时，则在上单调递增，在上单调递减，

又（1），

所以当时，当时，

易知函数的图象恒过点，

在同一平面直角坐标系中作出与的图象如下图所示：

由题意及图象可知，要使不等式有且只有三个整数解，

则，即，解得，

故符合题意的有、．

故选：．

9．（2023?泰安二模）已知函数，，．

A．若曲线在点，处的切线方程为，且过点，则，

B．当且时，函数在上单调递增

C．当时，若函数有三个零点，则

D．当时，若存在唯一的整数，使得，则

【解答】解：选项，，

则（1），，则，，故错误；

选项，当时，，

，

因为，则，

或在上单调递增，

则在上单调递增，故正确；

选项，当时，令，

注意到当时，，则，

则函数有三个零点，相当于直线与