重难点突破04 数列与不等式综合（解析版）.docxVIP

重难点突破04数列与不等式综合

一．选择题（共6小题）

1．（2023?江西模拟）在等比数列中，，．记，2，，则数列

A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项

C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项

【解答】解：根据题意，设等比数列的公比为，

若，，则，解可得，

则，

故，

分析可得：当为偶数时，为正，当时，最大，此时取得最大值，

当为奇数时，为负，当时，最大，此时取得最小值，

故选：．

2．（2023?海淀区校级三模）已知等比数列，对任意，，是数列的前项和，若存在一个常数，使得，，下列结论中正确的是

A．是递减数列

B．是递增数列

C．

D．一定存在，当时，

【解答】解：设等比数列的公比为，

对于：假设，，符合，此时，

故存在，对，，

又数列是递增数列，故错误；

对于；假设，，符合，此时，

故存在，对，，

又数列是递减数列，故错误；

对于：由选项得，，

则，故错误；

对于：假设存在，当时，，

则，

当时，，这与，使得，矛盾，

故一定存在，当时，，故正确．

故选：．

3．（2023?全国二模）已知数列满足，数列的前项和为，若对任意恒成立，则的取值范围是

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

对任意恒成立，即对任意恒成立，

，，

对任意恒成立，

又，

，即，

故选：．

4．（2023?江苏模拟）已知等比数列的前项和为，，则使得不等式成立的正整数的最大值为

A．9 B．10 C．11 D．12

【解答】解：已知，

当时，，则；

当时，，则；

因为数列是等比数列，所以，即，

整理得，解得，，公比，

所以．

由不等式，

得，

即，

整理得，又，

所以，即，，

所以正整数的最大值为11．

故选：．

5．（2023?鼓楼区校级模拟）数列中，，点，在双曲线上．若恒成立，则实数的取值范围为

A． B． C． D．

【解答】解：由题意可知：双曲线的渐近线方程为，

因为点，在双曲线上，

则，且，

可得，

可知为递减数列，且，

则为递减数列，

可得，且，

可得，

记点，，

则为直线的斜率，记，

由双曲线的性质以及为递减数列可知，直线的斜率为递减数列，

即，且随着增大，直线越接近渐近线，

故接近于，

所以，

则．

故选：．

6．（2023?江西模拟）若正项递增等比数列满足：，则的最小值为

A． B．2 C． D．4

【解答】解：根据题意，设等比数列的公比为，由于数列是正项递增等比数列，则，

由于，则有，变形可得，

则，

又由，，当且仅当时等号成立，

故，当且仅当时等号成立，

即的最小值为2．

故选：．

二．多选题（共1小题）

7．（2023?株洲一模）已知各项均为正数的等差数列，且，则

A． B．

C．数列是等差数列 D．数列是等比数列

【解答】解：根据题意，设等差数列的公差为，由于，则；

依次分析选项：

对于，数列是各项均为正数的等差数列，则，正确；

对于，，，则，错误；

对于，数列是等差数列中奇数项组成的数列，则数列是等差数列，正确；

对于，时，数列不是等比数列，错误；

故选：．

三．填空题（共4小题）

8．（2023?黑龙江一模）已知数列前项和，数列满足为数列的前项和．若对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为．

【解答】解：当时，；

当时，，

将代入上式，可得，则；，，

代入不等式，可得，

整理可得，

当为偶数时，不等式为，

令，，

当时，，则在上单调递增，

由于（4）（2），故（2），此时；

当为奇数时，不等式为，

令，为奇数且，

易知在单调递增，则（1），此时，

综上所述，实数的取值范围为．

9．（2023?深圳模拟）已知数列的前项和为，满足：，且，为方程的两根，且．若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为．

【解答】解：由可知数列是等差数列，设其公差为，

解方程得或，又，

，，

，，

，

由得，

，设，

则，

由对于任意恒成立，所以只考虑的符号，

设，，

令解得，即在上单调递增，

令解得，即在上单调递减，

（1），（2），（3），

当，（3），

当，时，，即，，

当，，即，

即从，开始单调递减，

即，

，即，

的取值范围为．

故答案为：．

10．（2023?辽宁模拟）已知数列是以2为公比的等比数列，，，记数列的前项和为，若不等式对任意，恒成立，则的最小值为9．

【解答】解：由题知，则，

所以，

所以，

所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列；

数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

则，

因为，则有，

因为对任意，恒成立，

则只需即可，

令，

则在区间，上单调递增，

所以，

所以，即，即，

解得，又，

所以的最小值为9．

故答案为：9．

11．（2022秋?沙坪坝区校级期末）已知数列的通项，，设是数列的前项和．若对任意都成立，则的取值范围是．