重难点突破04 双变量与多变量问题（七大题型）（原卷版）.docxVIP

重难点突破04双变量与多变量问题

目录TOC\o1-2\h\z\u

01方法技巧与总结 2

02题型归纳总结 2

题型一：双变量单调问题 2

题型二：双变量不等式:转化为单变量问题 3

题型三：双变量不等式:极值和差商积问题 5

题型四：双变量不等式:中点型 6

题型五：双变量不等式:剪刀模型 7

题型六：双变量不等式:主元法 8

题型七：双变量不等式:差值代换与比值代换 10

03过关测试 11

破解双参数不等式的方法：

一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.

题型一：双变量单调问题

【典例1-1】（2024·河北石家庄·模拟预测）已知函数，.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若，对任意，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.

【典例1-2】已知函数．

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)设，证明：对任意，，．

【变式1-1】已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)设，如果对任意，，求证：.

【变式1-2】（2024·安徽·三模）设，函数.

（Ⅰ）讨论函数在定义域上的单调性；

（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线与直线平行，且对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【变式1-3】已知函数.

(1)若函数在点处的切线与直线平行，求的方程；

(2)判断命题“对任意恒成立”的真假，并说明理由；

(3)若对任意都有恒成立，求实数m的取值范围.

【变式1-4】（2024·全国·模拟预测）已知函数，，且．

（1）当时，讨论的单调性；

（2）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

题型二：双变量不等式:转化为单变量问题

【典例2-1】设函数.

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)若函数有两个极值点，且，求的最小值.

【典例2-2】（2024·高三·天津宁河·期末）已知函数，．

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)求的单调区间；

(3)设是函数的两个极值点，证明：．

【变式2-1】已知函数，其中自然常数．

(1)若是函数的极值点，求实数的值；

(2)当时，设函数的两个极值点为，且，求证：．

【变式2-2】（2024·河南商丘·模拟预测）已知函数的定义域为，其导函数．

(1)求曲线在点处的切线的方程，并判断是否经过一个定点；

(2)若，满足，且，求的取值范围．

【变式2-3】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若，为函数的两个零点，求证：．

【变式2-4】已知函数．若有两个零点，且，证明：．

题型三：双变量不等式:极值和差商积问题

【典例3-1】已知函数.

(1)若，求的单调区间；

(2)若，，且有两个极值点，分别为和，求的最大值.

【典例3-2】（2024·全国·模拟预测）设函数.

(1)若，求函数的最值；

(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：.

【变式3-1】（2024·四川德阳·二模）已知函数，

(1)当时，讨论的单调性；

(2)若函数有两个极值点，求的最小值.

【变式3-2】（2024·广东佛山·二模）已知.

(1)当时，求的单调区间；

(2)若有两个极值点，，证明：.

题型四：双变量不等式:中点型

【典例4-1】已知函数.

(1)求函数的单调区间;

(2)记函数的图象为曲线C.设点，是曲线C上的不同两点.如果在曲线C上存在点，使得:①;②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F(x)存在“中值相依切线”.试问:函数是否存在“中值相依切线”，请说明理由.

【典例4-2】已知函数，．

(1)若在上为增函数，求实数的取值范围．

(2)当时，设的两个极值点为，且，求的最小值．

【变式4-1】已知函数．

(1)若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围；

(2)设，若函数存在两个零点，且．问：函数在点处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由．

【变式4-2】（2024·广东·二模）已知.

(1)求的单调区间；

(2)函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由.

题型五：双变量不等式:剪刀模型

【典例5-1】已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程.

（2）若方程有两个实数根，，且，证明：.

【典例5-2】已知函数有两个零点．

(1)求实数a的取值范围；

(2)求证：；

(3)求证：．

【变式5-1】（2024·重庆·模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体