重难点突破02 函数性质综合（解析版）.docxVIP

重难点突破02函数性质综合

若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：

(1)f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?＝1?f(x)为偶函数；

(2)f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?＝－1?f(x)为奇函数．

函数奇偶性常用结论

(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a0)．

(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a0)．

(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a0)．

对称性的三个常用结论

(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．

一．选择题（共16小题）

1．已知函数，则

A．为奇函数，且在是增函数

B．为偶函数，且在是增函数

C．为奇函数，且在是减函数

D．为偶函数，且在是减函数

【解答】解：函数的定义域为，且，所以为奇函数，

因为在是增函数，在是减函数，

所以在是增函数，

故选：．

2．设是定义在上的偶函数，且在，单调递增，则（4）的解集为

A． B． C． D．

【解答】解：由于是偶函数，且在，单调递增，

则（4），有，解得，即不等式的解集为．

故选：．

3．定义在上的偶函数满足：对任意的，，，有，则

A．（3）（4） B．（3）（4）

C．（3）（4） D．（4）（3）

【解答】解：因为对任意的，，，有，

所以在，上单调递减，又为偶函数，

所以在上单调递增，则（2）（3）（4），

又（2），所以（3）（4）．

故选：．

4．已知是定义在上的偶函数且在，上为减函数，若，，，则

A． B． C． D．

【解答】解：因为是偶函数，所以，

由，由指数函数的性质知，函数在上单调递减，

且，所以，所以，

因为在，上为减函数，所以，

即．

故选：．

5．已知函数为偶函数，且在上单调递增，则的解集为

A．，， B．，，

C． D．，，

【解答】解：函数为偶函数，且有（1），

，，

函数，

又在上单调递增，，

抛物线的开口向上，则的解集为．

故选：．

6．已知为上的奇函数，为上的偶函数，且当，时，，若，，，则，，的大小关系为

A． B． C． D．

【解答】解：由为奇函数，得，即，

又由为偶函数，得，即，

于是，即，因此的周期为8，

又当，时，，则在，上单调递增，

由，得的图象关于点成中心对称，则函数在，上单调递增，

因此函数在，上单调递增，由，得的图象关于直线对称，

（3）（1），，，

，显然，即有，即，

所以，，的大小关系为．

故选：．

7．已知函数是定义在上的奇函数，它的图象是一条连续不断的曲线．若，，且，，则不等式的解集为

A． B．

C． D．

【解答】解：设，

函数是定义在上的奇函数，函数是定义在上的偶函数，

，，且，，即，

在，上单调递增，

又为偶函数，在，上单调递减，

不等式，可化为，即，

，

①当时，，即，无解，

②当时，，即，

解得，

综上所述，原不等式的解集为，．

故选：．

8．关于函数有下述四个结论：

①是偶函数；

②在区间上单调递增；

③在，上有4个零点；

④的值域是，．

其中所有正确结论的编号是

A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④

【解答】解：对于①，，

故是偶函数，故①正确，

对于②，当时，，

令，，则，

因为在上单调递增，而函数在单调递增，

由复合函数的单调性可知在区间上单调递增，故②正确；

对于③，当，时，由，

即或，

得，或，或，由①知是偶函数，

故当，时，得，或，或，

所以在，有6个零点，③错误；

对于④，当，时，，

因为，所以当时，，

当时，，

此时，又是偶函数，

故值域为，④错误；

故选：．

9．已知函数是定义在上的偶函数，若对任意的，，，且，都有成立，则不等式的解集为

A． B． C． D．

【解答】解：设函数，

对任意的，，，且，都有成立，

对任意的，，，且，都有成立，

在，上单调递减，

又函数是定义在上的偶函数，

函数是定义在上的奇函数，

在上单调递减，

不等式，可化为，

即，

即，

在上单调递减，

，

解得，

即原不等式的解集为．

故选：．

10．已知函数是定义在上的偶函数，若，，，且，都有成立，则