黄金卷02-【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（北京专用）（参考答案）.docxVIP

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【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（北京专用）

黄金卷02·参考答案

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

C

C

D

A

A

B

D

B

B

B

第II卷（非选择题）

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11．12．13．1

14．15.

三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

16.（13分）

【答案】或，时有最大值，，时，有最小值0

【解析】设，，

则，

当时，即或，时有最大值，

当时，即，时，有最小值0．

17．（14分）

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：连接，

∵为的中点，∴为的中点，

又E为的中点，∴在中，，

而平面，

∴平面；

（2）连接，则四边形为平行四边形，则，

又，∴，

在中，，

由余弦定理可得，

∴，即，

而，∴平面，

则四棱柱的体积为．

18．（13分）

【答案】(1)能；

(2)．

【解析】（1）根据题意可得

所以有的把握认为考生是否选择物理与性别有关；

（2）该校考生选择物理科目的概率为

所以估计该校考生选择物理作为首选科目的人数为．

19．（15分）

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）设椭圆的半焦距为，因为椭圆的离心率为，所以，，

∴椭圆的方程可设为.

易得，因为圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为，

所以点在椭圆上，

所以，

解得，

所以椭圆的方程为.

（2）当过点且与圆相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为，

由（1）知：，，

则，，，

∴.

当过点且与圆相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为，

，，

因为直线与圆相切，

所以，即.

联立直线和椭圆的方程得，

∴，

所以.

∵，，

∴，

，

，

，，

∴.

综上所述，圆上任意一点处的切线交椭圆于点，，都有.

20．（15分）

【答案】(1);(2)见解析

【解析】(1)解:∵，

∴，，

∴曲线在点处的切线方程为.

(2)证明:由存在两个正实数根，

整理得方程存在两个正实数根.

由，知，

令，则，

当时，，在上单调递增;

当时，，在上单调递减.

所以.

因为有两个零点，即，得.

因为实数，是的两个根，

所以，从而.

令，，则，变形整理得.

要证，则只需证，即只要证，

结合对数函数的图象可知，只需要证，两点连线的斜率要比，两点连线的斜率小即可.

因为，所以只要证，整理得.

令，则，

所以在上单调递减，即，

所以成立，故成立.

21．（15分）

【答案】（1）不具有，理由见解析；（2）证明见解析；（3）3039，理由见解析.

【解析】（1）若，公差，则数列不具有性质.

理由如下：

由题知，

对于和，假设存在正整数，

使得，

则有，

解得，

得出矛盾，

所以对任意的.

（2）若数列具有“性质”，

则：①假设，

则对任意的.

设，则，矛盾！

②假设，则存在正整数，

使得

设，

则：，

但数列中仅有项小于等于0，矛盾！

③假设，

则存在正整数，使得

设，

则：，

但数列中仅有项大于等于0，矛盾！

综上，.

（3）设公差为的等差数列具有“性质”，且存在正整数，

使得.

若，则为常数数列，此时恒成立，

故对任意的正整数，，

这与数列具有“性质”矛盾，

故.

设是数列中的任意一项，

则，均是数列中的项，

设

则，

因为，所以，

即数列的每一项均是整数.

由（2）知，，

故数列的每一项均是自然数，且是正整数.

由题意知，是数列中的项，

故是数列中的项，

设，则，

即.

因为，

故是的约数.

所以，.

当时，，得，

故，共2019种可能；

当时，，得，故，共1010种可能；

当时，，得，

故，共3种可能；

当时，，得，

故，共2种可能；

当时，，得，

故，共2种可能；

当时，，得，故，共1种可能；

当时，，得，

故，共1种可能；

当时，，得，

故，共1种可能.

综上，满足题意的数列共有（种）.

经检验，这些数列均符合题意.