重难点突破04 函数中的零点问题01（解析版）.docxVIP

重难点突破04函数中的零点问题01

函数的零点是新高考的一大亮点和热点．函数的零点是沟通函数、方程、图像的重要桥梁,它充分体现了函数与方程间的紧密联系,展现了数形结合的美,诸如,方程的根的问题、存在性问题与交点问题等都可以转化为零点问题．这类问题形式多样,但只要牢牢抓住导数这一研究函数的有力工具,通过研究函数的单调性、极值、最值、图像等性质,对问题进行恰当分类、合理转化,便能解决与函数零点有关的问题

一．选择题（共25小题）

1．用二分法求方程的近似解，以下区间可以作为初始区间的是

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：令，

函数在上单调递增，

（1），（2），（3），

故，可以作为初始区间．

故选：．

2．函数的零点为

A． B．2 C． D．

【解答】解：函数的零点解得方程的根，可得，

，解得．

故选：．

3．已知函数，则的零点所在的区间为

A． B． C． D．

【解答】解：由题意得在上单调递增，

（1），，（2），，（3），

（3），

的零点所在的区间为．

故选：．

4．设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则下列说法正确的个数有

（1）当，时，；

（2）；

（3）若，则实数的最小值为

（4）若有三个零点，则实数．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：因为是奇函数，是偶函数，

所以，解得，

由，

当时，，

则，所以，

同理：当时，，

以此类推，我们可以得到如下的图象：

对于（1）：根据上述规律，当时，，故（1）错误；

对于（2）：根据图象，刚好是相邻两个自然数中间的数，

则刚好是每一段图象中的极大值，代入函数解析式得，故（2）正确；

对于（3）：根据图象，当时，由图像可得（3）正确；

对于（4）：有三个零点，

等价于函数与函数有三个不同的交点，设，则函数的图象为恒过点的直线，如图所示．

当函数与，相切的时候，有三个交点，

相切时斜率小于直线的斜率，直线的斜率为，

故有三个零点，，故（4）错误．

说法正确的个数为2．

故选：．

5．已知函数，方程有两个实数解，分别为和，当时，若存在使得成立，则的取值范围为

A． B． C． D．

【解答】解：如图所示，作出函数与的图象，

易得两函数交点位于两侧，不妨设，

若存在使得成立，

即，

又关于对称，

故，

因为，

所以，

所以，

即在有解，

则．

故选：．

6．已知函数，若关于的方程恰有5个不同的实根，则的取值范围为

A． B． C．， D．，

【解答】解：，，，或．

作出函数的图像如图所示，

由图知的图像与有两个交点，

若关于的方程恰有5个不同的实根，则的图像与有三个公共点，

所以的取值范围，．

故选：．

7．设函数在上满足，，且在闭区间，上只有（1）（3），则方程在闭区间，上的根的个数

A．1348 B．1347 C．1346 D．1345

【解答】解：在上满足，，

关于直线和直线对称，且，，

所以，所以，所以的周期为6，

又在闭区间，上只有（1）（3），则（7），，

且当，时，通过其关于直线对称，得其值对应着，的值，

则在闭区间，上只有（7）（3），

同理可推得在，也只有两个零点，

因为，则在，共有个零点，

因为，且在，的图象与，的图象相同，

则在，上有个零点，

则方程在闭区间，上的根的个数为1347个．

故选：．

8．已知函数，则函数的零点个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：令得，

在同一直角坐标系中作出，的大致图象如下：

由图象可知，函数与的图象有3个交点，

即函数有3个零点，

故选：．

9．方程的解所在的区间为

A． B． C． D．

【解答】解：令，则函数的定义域为，

在上单调递增，

又（1），（2），

由零点存在性定理得的零点所在区间为，

故方程的解所在的区间为，

故选：．

10．函数的零点所在的区间为

A． B． C． D．

【解答】解：依题意，函数的定义域为，

而在为单调递减函数，在为单调递减函数，

因为，所以，即，

所以，，

所以（2）（3），

所以由零点存在性定理可知，

函数在区间有零点．

故选：．

11．已知是定义域为的偶函数且，则函数零点个数是

A．6 B．5 C．4 D．3

【解答】解：，，

当时，，，

当时，，，，有；，有，

所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，

，，，，

，（1）（e），（e），

由零点存在定理，所以在，，上各有一个零点，

又是定义域为的偶函数，则函数有6个零点．

故选：．

12．已知函数，则方程的实根个数为

A．3 B．4 C．5 D．6

【解答】解：，解得或，

当时，，解得，，解得（舍；

当时，，解得或（舍，，解得或（舍；

综上，方程的实根为或或，

即方程的实根个数为3个，

故选：．

13．已知函数若函数有四个不同的