重难点突破09 导数与三角函数（解析版）.docxVIP

重难点突破09导数与三角函数

1．已知函数，证明：

（1）在区间存在唯一极大值点；

（2）有且仅有2个零点．

【解答】证明：（1）函数，，

，

令，，

，函数在上单调递减，

又当时，，而，

存在唯一，使得，

当时，，即，函数单调递增；当，时，，即，函数单调递减，

函数在区间存在唯一极大值点；

（2）由（1）可知，函数在上单调递增，在，上单调递减，

是函数的极大值点，且，

，

又当时，；，

在区间内存在一个零点，在区间，上存在一个零点，

当时，设，则，

在上单调递减，，

①当时，，当时，，无零点，

②时，，又，当时，，无零点，

当时，，函数在区间内无零点，

函数有且仅有2个零点．

2．已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）如果对于任意的，总成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）由于，

所以，

当，即时，；

当，即时，．

所以的单调递增区间为，

单调递减区间为；

（2）令，

要使总成立，只需时，

对求导，可得，

令，

则，

所以在上为增函数，

所以；

对分类讨论：

①当时，恒成立，

所以在上为增函数，

所以，

即恒成立；

②当时，在上有实根，

因为在上为增函数，

所以当时，，

所以，不符合题意；

③当时，恒成立，

所以在上为减函数，

则，不符合题意．

综上，可得实数的取值范围是，．

3．已知函数，其中，是自然对数的底数．

（1）当时，证明：对，，；

（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围．

【解答】（1）证明：当时，，，

当，时，，且，

所以当，时，，且时，，

函数在，上单调递增，，

所以，对，，．

（2）解：若函数在上存在极值，

则在上存在零点．

①当时，为上的增函数，

，

则存在唯一实数，使得成立，

当时，，为上的减函数；

当时，，为上的增函数，

所以为函数的极小值点；

②当时，在上恒成立，

函数在上单调递增，在上无极值；

③当时，在上恒成立，

函数在上单调递減，在上无极值．

综上知，使在上存在极值的的取值范围是．

4．已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）如果对于任意的，，恒成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）由于，

所以，

当，，即，，时，；

当，，即，，时，．

所以的单调递增区间为，，，

单调递减区间为，，；

（2）令，

要使总成立，只需，时，

对求导，可得，

令，

则，

所以在，上为减函数，

所以，；

对分类讨论：

①当时，恒成立，

所以在，上为增函数，

所以，

即，故成立；

②当时，在上有实根，

因为在，上为减函数，

所以当，时，，

所以，不符合题意；

③当时，恒成立，

所以在，上为减函数，

则，

由，可得，

即有．

综上，可得实数的取值范围是，．

5．已知函数（其中为自然对数的底数），是函数的导函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）设，如果对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）,

令,即,解得：,

令,即,解得：,

故在,递增，在,递减．

,

故对于任意的，恒成立，

等价于恒成立，

即,令,

则,

由（1）的结论知在,上为增函数，

,,

①当,即时，恒成立，

故在,上递增，即,符合题意，

②当即时，恒成立，

故在,递减，即,不合题意，

③当时，存在,使得,

当时，,在递减，

当,时，,在,递增，

故,不合题意，

综上：实数的取值范围是，．

6．已知函数，为的导数．证明：

（1）在区间存在唯一极大值点；

（2）有且仅有2个零点．

【解答】证明：（1）的定义域为，

，，

令，则在恒成立，

在上为减函数，

又，，由零点存在定理可知，

函数在上存在唯一的零点，结合单调性可得，在上单调递增，

在，上单调递减，可得在区间存在唯一极大值点；

（2）由（1）知，当时，单调递增，，单调递减；

当时，单调递增，，单调递增；

由于在，上单调递减，且，，

由零点存在定理可知，函数在，上存在唯一零点，结合单调性可知，

当，时，单调递减，，单调递增；

当时，单调递减，，单调递减．

当，时，，，于是，单调递减，

其中，

．

于是可得下表：

0

0

0

单调递减

0

单调递增

大于0

单调递减

大于0

单调递减

小于0

结合单调性可知，函数在，上有且只有一个零点0，

由函数零点存在性定理可知，在，上有且只有一个零点，

当，时，，则恒成立，

因此函数在，上无零点．

综上，有且仅有2个零点．

7．已知定义在，上的函数，为自然对数的底数．

（1）当时，证明：；

（2）若在上存在极值，求实数的取值范围；

（3）在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）证明：当时，，则，

当时，，，则，

所以在，上为增函数，从而．

所以；

（2）因为，

所以，

由，可得．

因为在上存在极值，

所以直线与曲线在内有交点（非切点）．

令，其中，

则在上恒成立，

所以在上单调递减，且，，

结合函数与