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专题08数列小题综合

一、单选题

1．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）数列满足，，则（????）

A． B． C． D．3

【答案】A

【分析】首先根据递推公式，求数列中的项，并得到数列的周期，再求的值.

【详解】因为，，

所以，解得，

又，解得，

又，，，

显然，接下去，

所以数列是以3为周期的周期数列，

则.

故选：A.

2．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）已知等比数列的前n项和为，公比为q，且，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由条件结合等比数列通项公式列方程求即可.

【详解】因为，

所以，

所以，

所以，

解得，A错误，C错误，D正确，

所以，B错误；

故选：D.

3．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）数列的前项和为，则数列的前项和为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】判断出数列是等比数列，进而判断出数列是等比数列，从而求得数列的前项和.

【详解】依题意，设数列的前项和为，即，

当时，，

当时，由得，

两式相减得，

也符合上式，所以，

，所以数列是等比数列，首项为，公比为.

所以数列是首项为，公比为的等比数列，

所以数列的前项和为.

故选：D

4．（2023·浙江·高三专题练习）已知公差不为零的等差数列满足：，且成等比数列，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据条件列出关于等差数列基本量的方程组，即可求解.

【详解】设等差数列的首项为，公差为，

则，，

因为成等比数列，所以，即，

因为，所以，

所以.

故选：A

5．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知等差数列的公差为d，前n项和为，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用等差数列的前项公式，分别从充分性和必要性两个方面进行判断即可求解.

【详解】因为数列是公差为的等差数列，所以，

，

所以，

若等差数列的公差，则，所以，故充分性成立；

若，则，所以，故必要性成立，

所以“”是“”的充分必要条件，

故选：C.

6．（2023·浙江·高三专题练习）已知是公差不为0的等差数列，，若成等比数列，则（????）

A．2023 B．2024 C．4046 D．4048

【答案】B

【分析】根据成等比数列列方程，得到，再计算即可.

【详解】设数列的公差为d，且，

若成等比数列，则，又，

所以，化简，，

又，所以，

所以.

故选：B.

7．（2023·浙江温州·统考三模）已知数列各项为正数，满足，，则（????）

A．是等差数列 B．是等比数列

C．是等差数列 D．是等比数列

【答案】C

【分析】分析可知数列的每一项都是正数，由已知条件可得出，结合等差中项法判断可得出结论.

【详解】因为数列各项为正数，满足，，

故对任意的，，则，

所以，数列的每一项都是正数，

所以，，可得，

由等差中项法可知，数列是等差数列，

故选：C.

8．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数构成的数列的第项，则的值为（????）

??

A．1275 B．1276 C．1270 D．1280

【答案】A

【分析】根据题意分析可得，利用累加法运算求解.

【详解】由题意可得：，即，

所以.

故选：A.

9．（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）非零实数满足成等差数列，则的最小值为（????）

A． B． C．3 D．

【答案】B

【分析】根据成等差数列，可将用表示，再将所求化简，利用基本不等式即可得解.

【详解】因为成等差数列，

所以，

所以，

则

，

当且仅当，即时，取等号，

所以的最小值为.

故选：B.

10．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）数列满足，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意化简可得，根据，利用累加法可得；根据，利用累加法计算化简可得，进而得出，令计算即可.

【详解】显然，对任意，．，

化简可得，所以，则，

累加可得，所以．

又，所以，

则

，

注意到，

所以，则，

所以．综上．

当时，，，即.

故选：C.

二、多选题

11．（2023·浙江·高三专题练习）“冰雹猜想”也称为“角谷猜想”，是指对于任意一个正整数，如果是奇数?乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次操作后的结果必为1，犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设，各项均为正整数的数列满足，则（????）

A．当时，

B．当时，

C．当为奇数时，

D．当为偶数时，是递增数列

【答案】ACD

【分析】当时，结合条件