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数字图像处理傅立叶变换3.3.3周期性和共轭对称性存储DFT结果的二维数组中频率成分的分布，如上图所示，即数组的左上角相当于直流部分，左上、右上、左下、右下各角的周围对应低频成分，数组中央部分附近对应于高频成分。为了使直流成分出现在数组中央，在把画面分成四分的基础上，进行如图所示的换位也是可以的。使中央对直流部分这样的二维傅立叶变换称作光学傅立叶变换(opticalFouriertransform)。数字图像处理傅立叶变换3.3.4旋转特性旋转特性描述：如果f(x,y)旋转了一个角度?，那么f(x,y)旋转后的图像的傅立叶变换也旋转了相同的角度?。?结论： 对图像的旋转变换和傅立叶变换的顺序是可交换的。 F{R{f(x,y)}}?R{F{f(x,y)}}数字图像处理傅立叶变换3.3.4旋转特性反之，如果F(u,v)旋转某一角度，则f(x,y)在空间域也旋转同样的角度。若引入极坐标则f(x,y)和F(u,v)分别变为f(r,?)和F(ω,φ)。在极坐标中存在以下变换对：f(r,?+?0)?F(ω,φ+?0)这条性质以极坐标代以x,y,u,v，则可以得到证明。数字图像处理傅立叶变换3.3.5线性与比例性1.线性?线性的描述：傅立叶变换是线性系统、函数和的傅立叶变换是可分离的。设： f(x,y)的傅立叶变换为F{f(x,y)} g(x,y)的傅立叶变换为F{g(x,y)}有：F{f(x,y)+g(x,y)}=F{f(x,y)}+F{g(x,y)}数字图像处理傅立叶变换3.3.5线性与比例性2.比例性?比例性的描述： af(x,y)?aF(u,v) 且有： f(ax,by)?1/|ab|F(u/a,v/b)数字图像处理傅立叶变换3.3.6均值性均值性的描述： 离散函数的均值等于该函数傅立叶变换在(0,0)点的值。数字图像处理傅立叶变换3.3.7卷积与相关卷积与相关:空域和频域之间的基本联系1.卷积?卷积定理的描述：空域中的卷积等价于频域中的相乘 f(x,y)*g(x,y)?F(u,v)G(u,v) F{f(x,y)*g(x,y)}=F(u,v)G(u,v)同时有： f(x,y)g(x,y)?F(u,v)*G(u,v)数字图像处理傅立叶变换3.3.7卷积与相关2.相关?相关定理的描述：空域中f(x,y)与g(x,y)的相关等价于频域中F(u,v)的共轭与G(u,v)相乘 f(x,y)?g(x,y)?F*(u,v)G(u,v)同时有： f*(x,y)g(x,y)?F(u,v)?G(u,v)数字图像处理傅立叶变换3.4快速傅立叶变换FFT算法基于一个叫做递推加倍的方法，通过推导将DFT转换成两个递推公式。为方便起见我们用下式表达离散傅立叶变换公式：1.FFT算法——基本思想这里WN=exp(-j2?/N)是一个常数数字图像处理傅立叶变换3.4快速傅立叶变换递推公式推导假设N为： N=2n其中n是一个正整数，因此N可表示为： N=2M这里M仍然是一个正整数。将N=2M代入前一页的式子，得到： 数字图像处理傅立叶变换3.4快速傅立叶变换所以：由于：WN=exp(-j2?/N)代入前页式子有：数字图像处理傅立叶变换3.4快速傅立叶变换定义两个符号：偶数部分u=0,1,2,…M-1奇数部分u=0,1,2,…M-1数字图像处理傅立叶变换3.4快速傅立叶变换得出FFT的第一个递推公式： 该公式说明F(u)可以通过偶部和奇部之和来计算。数字图像处理傅立叶变换3.4快速傅立叶变换另有：WMu+M=exp[-2j?(u+M)/M] =exp[-2j?u/M]exp[-2j?] =WMuej?(-2)=WMu(-1)(-2)=WMu且：W2Mu+M=exp[-2j?(u+M)/2M] =exp[-2j?u/2M]ej?(-1) =W2Mu(-1)(-1)=-W2Mu最后有：WMu+M=WMu；