专题06 立体几何小题综合解析版.docxVIP

专题06立体几何小题综合

一、单选题

1．（2023·浙江金华·统考模拟预测）如图位于西安大慈恩寺的大雁塔是我国现存最早?规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，其最高处的塔刹可以近似地看成一个正四棱锥，已知正四棱锥的高为，其侧棱与底面的夹角为，则该正四棱锥的体积约为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设正四棱锥的底面边长为，高为，得到为侧棱与底面所成的角，结合，求得，结合体积公式，即可求解.

【详解】如图所示，设正四棱锥的底面边长为，高为，

设，可得底面，即为侧棱与底面所成的角，

因为侧棱与底面的夹角为，可得，所以，

在正方形中，可得，所以，

可得正四棱锥的体积为，

又因为正四棱锥的高为，所以.

故选：B.

2．（2023·浙江·校联考三模）已知半径为4的球，被两个平面截得圆，记两圆的公共弦为，且，若二面角的大小为，则四面体的体积的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据圆的性质及球的截面的性质，利用正弦定理、余弦定理，均值不等式及三棱锥的体积公式求解即可.

【详解】设弦的中点为，连接，依题意，可得如下图形，

由圆的性质可知，则即为二面角的平面角，

故，

四面体的体积为

，

其中

，当且仅当时取等号，

由球的截面性质，，，

所以四点共圆，则有外接圆直径，

从而，

.

故选：C

3．（2023·浙江·校联考模拟预测）将一个体积为的铁球切割成正三棱锥的机床零件，则该零件体积的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设正三棱锥的底面边长为，高为，球半径为，由球体积求得球半径，根据边长、高、外接球半径关系及棱锥体积公式得到零件体积关于的函数，利用导数求体积最大值.

【详解】设正三棱锥的底面边长为，高为，球半径为，

由球的体积为，则，解得，

，即，故，

正三棱锥的体积为：，

，

由得：，此时函数单调递增，

由得：，此时函数单调递减，

当时，取得最大值，且最大值为.

故选：D

4．（2023·浙江·校联考模拟预测）建筑物的屋面在顶部交汇为一点，形成尖顶，这种建筑叫攒（cuán）尖建筑，其屋顶叫攒尖顶.其特点是屋顶为锥形，没有正脊，顶部集中于一点，即宝顶，该顶常用于亭?榭?阁和塔等建筑.1981年温州江心屿的东西双塔列为温州市第一批文物保护单位.江心屿东塔为六角攒尖顶，其檐平面呈正六边形，它有着与其角数相同的垂脊和围脊，如图所示，它的轮廓可近似看作一个正六棱锥.假设东塔的围脊为，垂脊为，则攒尖坡度（屋顶斜坡与檐平面所成二面角的正切值）为（????）

??????

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】为底面中心，连接，确定为屋顶斜坡与檐平面所成二面角的正切值，计算得到答案.

【详解】如图，为底面中心，连接，连接，三直线交于点，

为中点，连接，，则，底面，

故为屋顶斜坡与檐平面所成二面角的正切值，

为等边三角形，，，

所以.

??

故选：C

5．（2023·浙江·校联考二模）在平行四边形中，角，将三角形沿翻折到三角形，使平面平面.记线段的中点为，那么直线与平面所成角的正弦值为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由余弦定理，则，，，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法解决线面角问题.

【详解】，由余弦定理，，

则，，，

平面平面，，，

以为原点，所在直线为轴，平面内垂直于的直线为轴，垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

，

设平面的一个法向量为，则有，

令，有，，即，

，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

故选：A

6．（2023·浙江·校联考模拟预测）《九章算术?商功》刘徽注：“邪解立方得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑，”阳马，是底面为长方形或正方形，有一条侧棱垂直底面的四棱锥.在底面，且底面为正方形的阳马中，若，则（????）

A．直线与直线所成角为

B．异面直线与直线的距离为

C．四棱锥的体积为1

D．直线与底面所成角的余弦值为

【答案】B

【分析】把阳马补形成正方体，求出异面直线夹角判断A；求出线面距离判断B；求出四棱锥体积判断C；求出线面角的余弦判断D作答.

【详解】由底面，底面为正方形，而，则阳马可补形成正方体，如图，

??

对于A，由底面，底面，则，因此直线与所成角为，A错误；

对于B，连接，平面，平面，则有平面，

从而异面直线与直线的距离等于直线与平面的距离，

取的中点，连接，则，而平面，

平面，于是，又平面，

因此平面，所以直线与平面的距离为，B正确；

对于C，四棱锥的体积，C错误；

对于D，连接，则是直线与底面所成的角，而，

因此，D错误.

故选：B

7．（2023·浙江·校联考模拟预测）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中记载有几何体“刍甍”．现有一个刍甍如图所示，底面为正方形，平面