专题02 几何最值之费马点模型（原卷版）.pdfVIP

专题02几何最值之费马点模型

ABCPPAPBPC.

费马点模型：如图，在△内部找到一点，使得＋＋的值最小

当点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º，则PA＋PB＋PC的值最小，P点称为三角形的费马点.

特别地，△ABC中，最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A

（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）

费马点的性质：

1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。

2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。

费马点最小值解法：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值

证明过程：

将△APC边以A为顶点逆时针旋转60°，得到AQE，连接PQ，则△APQ为等边三角形，PA=PQ。

即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值BE

例1．（2022·四川·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC

于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD=________．

22021··VABCÐCAB=90°，AB=AC=1PVABC

例．（四川成都实外九年级阶段练习）如图，在中，，是内

PA+PB+PC

______

一点，求的最小值为．

【变式训练1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，

点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______．

22019··DABCA60°

【变式训练】（湖北武汉中考真题）问题背景：如图，将绕点逆时针旋转得到DADE，DE

BCPPA+PC=PE

与交于点，可推出结论：

DMNGMN=6ÐM=75°ODMNGODMNG

问题解决：如图，在中，，，MG=42．点是内一点，则点到

___________

三个顶点的距离和的最小值是

32021··△ABC∠BAC30°ABACPAH

【变式训练】（全国九年级专题练习）如图，中，＝且＝，是底边上的高

AP+BP+CP2BC_____

上一点．若的最小值为2，则＝．

课后训练

1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD

（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（）

33233343

A．B．C．D．

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