新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第24讲 三角恒等变换（2）（原卷版）.doc

第24讲三角恒等变换（2）

【基础知识全通关】

1.在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要切化弦．

2.要注意对“1”的代换：

如1＝sin2α＋cos2α＝taneq\f(π,4)，还有1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2).

3.对于sinαcosα与sinβ±cosα同时存在的试题，可通过换元完成：

如设t＝sinα±cosα，则sinαcosα＝±eq\f(t2－1,2).

4.要注意角的变换，熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，eq\f(α,3)是eq\f(2α,3)的半角，eq\f(α,2)是eq\f(α,4)的倍角等．

5.用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式：

(1)y＝asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2)).则－eq\r(a2＋b2)≤y≤eq\r(a2＋b2).

(2)y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x可先降次，整理转化为上一种形式．

(3)y＝eq\f(asinx＋b,csinx＋d)(或y＝eq\f(acosx＋b,ccosx＋d))

可转化为只有分母含sinx或cosx的函数式sinx＝f(y)的形式，由正、余弦函数的有界性求解．

6.用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式：

(1)y＝asin2x＋bcosx＋c可转化为关于cosx的二次函数式．

(2)y＝asinx＋eq\f(c,bsinx)(a，b，c＞0)，令sinx＝t，则转化为求y＝at＋eq\f(c,bt)(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．

【考点研习一点通】

1.已知SKIPIF10，SKIPIF10，则SKIPIF10的值为______．

【变式1-1】已知SKIPIF10为锐角，且SKIPIF10，则SKIPIF10__________．

【变式1-2】设α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，已知向量a＝(eq\r(6)sinα，eq\r(2))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，cosα－\f(\r(6),2)))，且a⊥b.

(1)求taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))的值；

(2)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(7π,12)))的值．

2、如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为eq\f(\r(2),10)，eq\f(2\r(5),5)．求：

(1)tan(α＋β)的值；

(2)α＋2β的大小．

【变式2-1】在平面直角坐标系SKIPIF10中，锐角SKIPIF10的顶点为坐标原点SKIPIF10，始边为SKIPIF10轴的非负半轴，终边上有一点SKIPIF10．

(1)求SKIPIF10的值；

(2)若SKIPIF10，且SKIPIF10，求角SKIPIF10的值．

【考点易错】

1、若SKIPIF10，则SKIPIF10______．

2、已知函数SKIPIF10，

（1）求SKIPIF10的最小正周期和单调递减区间。

（2）若方程SKIPIF10在区间SKIPIF10上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围。

【巩固提升】

1、若SKIPIF10，则SKIPIF10SKIPIF10

A．SKIPIF10 B．SKIPIF10 C．SKIPIF1