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离散数学基础

1集合论基础

集合论是离散数学的基石，它研究的是集合的性质和操作。集合是一个无序的元素集合，其中的元素是唯一的，没有重复。集合的基本操作包括并集、交集、差集和补集。

1.1并集

并集是两个集合的所有元素的集合，重复的元素只出现一次。例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，那么A∪B={1,2,3,4,5}。

1.2交集

交集是两个集合共有的元素的集合。例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，那么A∩B={3}。

1.3差集

差集是第一个集合中存在但第二个集合中不存在的元素的集合。例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，那么A-B={1,2}。

1.4补集

补集是全集U中不属于集合A的元素的集合。例如，如果全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,2,3}，那么A的补集A’={4,5}。

在Python中，我们可以使用set数据类型来表示集合，并使用内置的方法来进行集合操作。

#创建集合

A=set([1,2,3])

B=set([3,4,5])

#并集

C=A.union(B)

print(C)#输出：{1,2,3,4,5}

#交集

D=A.intersection(B)

print(D)#输出：{3}

#差集

E=A.difference(B)

print(E)#输出：{1,2}

#补集

U=set([1,2,3,4,5])

F=U.difference(A)

print(F)#输出：{4,5}

2函数与关系

函数是离散数学中的重要概念，它描述的是两个集合之间的映射关系。函数的基本性质包括定义域、值域、一对一、多对一和多对多。

2.1定义域

函数的定义域是函数输入的所有可能值的集合。

2.2值域

函数的值域是函数输出的所有可能值的集合。

2.3对一

如果函数的每个输入都有一个唯一的输出，那么这个函数就是一对一的。

2.4多对一

如果函数的多个输入可以有相同的输出，那么这个函数就是多对一的。

2.5多对多

如果函数的多个输入可以有多个输出，那么这个函数就是多对多的，但这通常不被视为一个函数，而是一个关系。

在Python中，我们可以使用字典数据类型来表示函数和关系。

#创建函数

f={1:a,2:b,3:c}

#访问函数的值

print(f[1])#输出：a

#创建关系

r={(1,a),(2,b),(2,c),(3,d)}

#检查关系中是否存在元素

print((2,b)inr)#输出：True

3数理逻辑

数理逻辑是离散数学中的重要分支，它研究的是命题和命题之间的逻辑关系。数理逻辑的基本概念包括命题、真值、逻辑运算符和逻辑等价。

3.1命题

命题是一个可以判断真假的陈述句。

3.2真值

命题的真值是命题的真假性，通常用T表示真，F表示假。

3.3逻辑运算符

逻辑运算符包括否定、合取、析取、蕴含和等价。

3.4逻辑等价

如果两个命题在所有可能的真值下都有相同的真值，那么这两个命题就是逻辑等价的。

在Python中，我们可以使用逻辑运算符来表示和操作命题。

#命题

p=True

q=False

#否定

print(notp)#输出：False

#合取

print(pandq)#输出：False

#析取

print(porq)#输出：True

#蕴含

print(notporq)#输出：False

#等价

print(p==q)#输出：False

4组合数学入门

组合数学是离散数学中的重要分支，它研究的是从一个集合中选择元素的方法和计数问题。组合数学的基本概念包括排列、组合和二项式系数。

4.1排列

排列是从一个集合中选择元素的方法，元素的顺序是重要的。例如，从集合{1,2,3}中选择两个元素的排列有6种：(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)。

4.2组合

组合是从一个集合中选择元素的方法，元素的顺序是不重要的。例如，从集合{1,2,3}中选择两个元素的组合有3种：{1,2}，{1,3}，{2,3}。

4.3项式系数

二项式系数是组合的一种特殊形式，通常表示为C(n,k)，表示从n个元素中选择k个元素的组合数。

在Python中，我们可以使用itertools模块中的permutations和combinations方法来生成排列和组合。

importitertools

#创建集合

A=[1,2,