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离散数学基础

1集合论基础

集合论是离散数学中的一个核心概念，它研究集合的性质和操作。集合是一个无序的元素集合，其中的元素可以是任何事物，只要它们是明确的和不同的。集合论中的基本操作包括并集、交集、差集和补集。

1.1并集

并集是两个集合的所有元素的集合，重复的元素只出现一次。例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，那么A∪B={1,2,3,4,5}。

1.2交集

交集是两个集合共有的元素的集合。例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，那么A∩B={3}。

1.3差集

差集是第一个集合中存在但第二个集合中不存在的元素的集合。例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，那么A-B={1,2}。

1.4补集

补集是全集U中不属于集合A的元素的集合。例如，如果全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,2,3}，那么A的补集A’={4,5}。

1.5代码示例

#Python集合操作示例

A=set([1,2,3])

B=set([3,4,5])

U=set([1,2,3,4,5])

#并集

union_set=A.union(B)

print(A∪B:,union_set)

#交集

intersection_set=A.intersection(B)

print(A∩B:,intersection_set)

#差集

difference_set=A.difference(B)

print(A-B:,difference_set)

#补集

complement_set=U.difference(A)

print(A的补集A:,complement_set)

2图论基础

图论是研究图的数学理论，图是由顶点和边组成的结构。顶点是图中的点，边是连接顶点的线。图可以是有向的，也可以是无向的。

2.1无向图

无向图中的边没有方向，例如，如果A和B是两个顶点，那么A和B之间的边可以表示为{A,B}。

2.2有向图

有向图中的边有方向，例如，如果A和B是两个顶点，那么从A到B的边可以表示为(A,B)。

2.3图的表示

图可以使用邻接矩阵或邻接表来表示。

2.4代码示例

#使用邻接矩阵表示无向图

graph=[

[0,1,1,0],

[1,0,1,1],

[1,1,0,1],

[0,1,1,0]

]

#打印邻接矩阵

forrowingraph:

print(row)

#使用邻接表表示有向图

graph={

A:[B,C],

B:[A,C,D],

C:[A,B,D],

D:[B,C]

}

#打印邻接表

fornode,neighborsingraph.items():

print(node,的邻居:,neighbors)

3组合数学基础

组合数学是研究离散对象的计数和选择的数学理论。组合数学中的基本概念包括排列、组合和二项式系数。

3.1排列

排列是n个不同元素的线性序列，其中元素的顺序很重要。例如，如果集合A={1,2,3}，那么A的排列有6种：{1,2,3}，{1,3,2}，{2,1,3}，{2,3,1}，{3,1,2}，{3,2,1}。

3.2组合

组合是n个不同元素的子集，其中元素的顺序不重要。例如，如果集合A={1,2,3}，那么A的组合有7种：{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}。

3.3项式系数

二项式系数是组合数学中的一个概念，表示从n个不同元素中选择k个元素的组合数。二项式系数的计算公式为：C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)

3.4代码示例

importmath

#计算二项式系数

defbinomial_coefficient(n,k):

returnmath.factorial(n)//(math.factorial(k)*math.factorial(n-k))

#打印二项式系数

print(C(5,2):,binomial_coefficient(5,2))

4数理逻辑基础

数理逻辑是研究逻辑推理的数学理论。数理逻辑中的基本概念包括命题、命题逻辑和谓词逻辑。

4.1命题

命题是一个可以判断真假的陈述。例如，“今天是星期一”，“2+2=4”。

4.2命题逻辑

命题逻辑是研究命题的逻辑推理