2023-2024学年八年级数学下册压轴题攻略（人教版）专题03 勾股定理压轴（三大模型）（解析版） .pdf

专题03勾股定理压轴（三大模型）

C、模型解密

“勾股树”

勾股定理：a2+b2=c2.

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长Q,b,c满足

a1+b2=c1或a2+c2=b2或b2+c2=a1么这个三角

形是角三角形

在角三角形外，分别以三边作同样图形，可得下面结论

拉斯树的起始图

形）

结论：§+$2=$3

「画典例精讲

【典例1】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在

我国古书《周髀算经》中就有若勾三，股四，则弦五〃的记载，我国汉代数学家赵爽为了证

明勾股定理，创制了一幅弦图〃（如图1）,后人称之为赵爽弦图〃，流传至今.

2

S、/(y

1

S3

图1图2图3图4

图5图6图7

⑴①如图2,3,4,以角三角形的三边为边或径，分别向外部作正方形、半圆、等边

三角形，面积分别为S],$2,摘，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足51+S2=S3

的有个.

②如图5,分别以角三角形三边为径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）

的面积分别为况，$2,角三角形面积为S’,也满足Sl+S2=S3吗？若满足，请证明；若

不满足，请求出可，$2，撬的数量关系.

⑵如果以正方形一边为斜边向外作角三角形，再以该角三角形的两角边分别向外作

正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的〃勾股树〃.在如图7所示的〃勾股树〃的某部

分图形中，设大正方形M的边长为定值秫，四个小正方形A,B,C,。的边长分别为a,b,

c,d,贝^a2+b2+c2+d2=.

【答案】⑴①3；②满足，证明见解析

⑵秫2

【分析】（1）设两角边分别为X,,斜边为Z,用X,y,z分别表示正方形、圆、等边

三角形的面积，根据x2+y2=z2,求解»禹，之间的关系，进而可得结果；②根据

/+。2=己。。[J13ab43沥，S3=*，可得51+52=53；

o,+3。=11=—Z

1222222

(2由题意知，，疽/,SB=b\Sc=c2,SD=d2,(SA+SB+(Sc+SD=SM=m2,代

入求解即可.

【详解】(1)①解：设两角边分别为x,,斜边为z,

则图2中，Si=人2,S2=y2,S3=z2,

敦2+y2=£,

国S]+=S3,故图2符合题意；

图3中，s心点4项s四点’

128228328

r-7ix27iy2万(亍+尸)2

8888

0^+52=53,故图3符合题意；

图4中，V=—%•%•sin60°=,S2=—jj•sin60°=,53=—z•z•si