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2023年初高中衔接素养提升专题讲义

第二讲分式和根式类问题的延伸（精讲）（原卷版）

【知识点透析】

【知识点一】分式的相关知识

1．分式的意义

形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：

；．

2．繁分式

像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．

【知识点精讲】

【例1】若，求常数的值．

【变式1】（2022·四川·九年级专题检测）已知实数x、y满足x-3+

【例2】（2022·安徽合肥·七年级期末）观察下列各式：

①11×2=1-12；????????②12×3=12-

（1）请用以上规律计算：12+

（2）若1(m+1)(

【变式1】（1）试证：（其中n是正整数）；

（2）计算：；

（3）证明：对任意大于1的正整数n，有．

【变式2】（2022·广西百色·七年级期末）下列一组方程：①x+2x=3，②x+6

由①得：x+1×2x=1+2，解是x

由②得：x+2×3x=2+3，解是x

由③得：x+3×4x=3+4，解是x

请根据以上小晶发现的规律，回答下列问题：

（1）第④个方程是，解是：；

（2）若n为正整数，则第n个方程是，解是：；

（3）若n为正整数，求关于x的方程x+

【例3】（（2022·安徽合肥·二模）观察下列不等式：①12211×2；②

根据上述规律，解决下列问题：

（1）完成第5个不等式：___________；

（2）写出你猜想的第n个不等式：_____________(用含n的不等式表示)；

（3）利用上面的猜想，比较n+2n+1

【例4】（（2022·山东·济宁市第十五中学八年级阶段练习）阅读下面的解题过程：已知：xx2+1

解：xx2+1=13知

所以x4

故x2x4

该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：

已知：aa2-

【知识点二】根式类问题

一、基本知识

一般地，形如的代数式叫做二次根式．其性质如下：

(1)(2)

(3) (4)

二次根式的意义

二、拓展知识

2.1无理式：根号下含有字母的式子并且开不尽方的根式叫做无理式.例如：，是无理式，而不是无理式

2.2分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.其方法是分子、分母同时乘分母的有理化因式.例如：.

2.3有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式.常用的有理化因式有：

①与②与

【知识点精讲】

【例5】将下列式子化为最简二次根式：

（1）；（2）；（3）．

【变式1】（2022·重庆八中九年级阶段练习）与最接近的整数是（）

A．3 B．4 C．5 D．6

【变式2】化简下列各式：

(1) (2)

【例6】阅读下列材料，然后回答问题：

在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：

方法一：＝＝＝

方法二：＝＝＝＝

（1）请用两种不同的方法化简：；

（2）化简：．

【变式1】化简：．

【变式2】（2022·湖南衡阳·九年级）满足不等式的整数m的个数是_____．

【变式3】（2022·江苏·八年级专题练习）观察下列二次根式化简：﹣1，，?从中找出规律并计算＝___．

【例7】（2021·全国·九年级专题检测）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．

材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．

材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y′)给出如下定义：若则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5)．问题：

（1）点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为；

（2）化简：

【变式1】先阅读然后解答问题：化简

解：原式＝

根据上面所得到的启迪，完成下面的问题：

（1）化简：（2）化简：．

【变式2】化简：（1）；（2）．

【例8】已知，求的值．

【变式1】：先化简，再求值：，其中x＝1+，y＝1﹣．