分圆多项式资料课件.pptVIP

§7.5分圆多项式?7.5.1复数域上的分圆多项式?7.5.2任意域上的分圆多项式

7.5.1复数域上的分圆多项式定义.在复数域中хn-1=0的解称为n次单位根。??结论：一个复数是n次单位根,当且仅当它具有下列形式：证明：因任意复数可以表为r（cosθ+isinθ）其中r是它的模，θ是它的幅角，我们有r（cos?+isin?）?s（cosψ+isinψ）=rs[cos?cosψ-sin?sinψ+i（cos?sinψ+sincosψ）]=rs[cos（?+ψ）+isin（?+ψ）]。

据此，用数学归纳法易证：[r(cosθ+isinθ)]=r(cosnθ+isinnθ)此数的模是r，幅角是nθ。因为复数1的模是1，幅角是2kπ，k=0，±1，±2，…，所以，r（cosθ+isinθ）是n次单位根iff=1且nθ=2kπiffnnnrnr=1，且θ=iff它具有下列形式：

?故若命ξ=则一个复数是n次单位根，当且仅当它是ξ的整数次方。由此可见，所有n次单位根在乘法下作成一个循环群，ξ是它的一个生成元素。1，ξ，ξ，…，ξn-1为n个n次单位根：2这n个单位根的幅角都是的整倍数；用平面上的点代表复数，把代表这n个单位根的点用线段联结起来便成为单位圆的一个内接正n边形。可见，这n个n次单位根都不同。ξ是n次单位根，当然ξξ的周期恰等于n。n=1。所以

定理7.5.1.复数域中恰有n个n次单位根。它们在乘法下作成一个n元循环群,ξ=是一个生成元素。这个n元循环群的生成元素称为本原n次单位根，共有?(n)个，假定它们是ξ，ξ，…，ξ?(n)12命Φ(х)=(х-ξ)(х-ξ)…(х-ξ)?（）nΦ（х）称为分圆多项式.12nn意思是说求出它的一个根就可以把单位圆分成n等份了。

分圆多项式例=1,?(1)=1,故ln=1时，生成元ξ=Φ(х)=(х-1)。1=-1,?(2)=1，故ln=2时，生成元ξ=Φ(х)=(х+1)。2ln=3时，生成元ξ==，?(3)=2，另一个生成元为：，ξ2故Φ(х)=(х-ξ)(x-ξ2)=хln=4时，生成元ξ=另一个生成元为：ξ=Φ(х)=(х-ξ)(x-ξ2+x+1=。3=i，?(4)=2，3-i，故3)=(x-i)(x+i)=x+124

分圆多项式的性质-1=定理7.5.2хn证明：设θ，θ，…，θ是所有n次单位根，于是12nхn-1=(х-θ)(х-θ)…(х-θ).12n任取一个d∣n。(1)往证|хn-1。任取Φ(х)的根θ,则θ是一个本=1,可见(x-θ)必出现d根。于是,θd=1,因而θn在(х-θ)(х-θ)…(х-θ)中.可见12n本原d次单位根都出现在(х-θ)(х-1θ)中。因之，Φ(х)∣х-1。nnd

若d和d′不同,则Φ(х)和Φ(х)没有公共dd′一次式。因为，前者的根是本原d次单位根，后者的根是本原d′次单位根，由此可见，∣х-1。n(2)往证хn-1|。任取х的根θ,设θ的周期为d,d∣n,因而n-1是本原d次单位根。这就是说,(х-θ)(х-θ)…(х-θ)中的任意一次式必12n出现在某个Φ（х）之内，其中d∣n，所以d

例因为x-1==Φ(х),所以,Φ(х)=x-1。11因为x因为x因为x234-1==Φ(х)Φ(х)，所以，21Φ(х)=x+1。2-1==Φ(х)Φ(х)，所以，31Φ(х)=x23+x+1。-1==Φ(х)Φ(х)Φ(х)，所以，421Φ(х)=x+1。24

分圆多项式的性质定理7.5.3.Φ(х)是整系数多项式。n证明：用数学归纳法。Φ(х)=х-1是整系数多项式。1假定已知kn时，Φ(х)是整系数多项式，k试证Φ(х)亦然。因хn-1=Φ(х)，nn由归纳法假定，此式右边每个Φ(х)都是整d系数多项式，故其积为整系数多项式，且首系数为1。所以是本原多项式，而хn-1是整系数多项式，故，Φ（х）必为整系数多项式。n

例求Φ(х)。12解：因为х12-1==ΦΦΦΦΦΦ1264321，х6=ΦΦΦΦ6321-1=相除得х+1=ΦΦ6124因之，Φ(х)==x4-x+1。212

7.5.2任意域上的分圆多项式?F为任意域，设n不是特征的倍数，方程х-?若n不是特征的倍数，则хn多项式0，因而除0外没有另外的根，但0显然不是х-1的根，所以，х-1