湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（含简单答案）.docxVIP

长沙市周南中学2023-2024学年高二上学期期末考试

数学试题

分量：150分时量：120分钟

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.若复数，则的共轭复数（）

A. B. C. D.1

2.，，，则与的夹角为（）

A. B. C. D.

3.一个口袋内装有4个小球，另一个口袋内装有3个小球，所有这些小球的颜色互不相同，从两个口袋内分别取一个小球，则不同的取法数为（）

A.7 B.16 C.9 D.12

4.集合，集合，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

5.函数的单调递增区间是（）

A. B. C. D.

6.直线，圆．则直线被圆所截得的弦长为（）

A.2 B.4 C. D.

7.函数的部分图象如图所示，则其解析式为（）

A. B.

C. D.

8.已知函数，若函数有两个零点，则实数取值范围是（）

A. B. C. D.

二、多选题：本题共4小题，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．

9.长沙市周南中学高二某班有45人，其中男生、女生的人数及其团员人数如下表所示．

团员

非团员

合计

男生

16

9

25

女生

14

6

20

合计

30

15

45

记事件：“在班级里随机选一人，选到男生”

事件：“在班级里随机选一人，选到团员”

下列说法正确的是（）

A.事件的对立事件为：“在班级里随机选一人，选到女生”

B.事件与事件互斥

C.，

D.事件与事件相互独立

10.已知函数，下列说法正确的是（）

A.函数在点处切线的斜率为

B.函数在点处切线方程为

C.函数图象上瞬时变化率为1的点有3个

D.函数的极大值点为，极小值点为

11.直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，下列说法正确的是（）

A.，

B.直线的斜率为1时，

C.的最小值为6

D.以为直径的圆与的准线相切

12.如图，在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列选项正确的有（）

A.

B.

C.直线与平面所成角的最大值是

D.的最小值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.从7件不同的礼物中选出3件分别送给3位不同的同学，则不同方法的种数为______．

14.请写出同时满足下列条件的一个函数解析式______．

①周期为2；②偶函数

15.著名的“汉洛塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下、从小到大套着个中心带孔的圆盘，将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作．设将个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为，则______，______．

16.设点分别为双曲线的左、右焦点，点分别在双曲线的左、右支上，若，，且，则双曲线的离心率为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.已知分别为的三个内角的对边，且．

（1）求的值；

（2）若，且的面积为，求．

18.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图：

记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于4.5”，根据直方图得到的估计值为0.85．

（1）求乙离子残留百分比直方图中的值且估计甲离子残留百分比的中位数；

（2）从组小鼠和组小鼠分别取一只小鼠，两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于5.5的概率为多少．

19.如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，点在棱上．

（1）证明：平面平面；

（2）当为的中点时，求二面角的余弦值．

20.已知等差数列满足，，数列满足．且有．记的前n项和为．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列，求前n项和．

21.已知圆，圆动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线．

（1）求曲线方程；

（2）设不经过点的直线与曲线相交于两点，直线与直线的斜率均存在且斜率之和为，直线是否过定点，若过定点，写出定点坐标．

22.已知函数，有两个不相等的正实数，使得．

（1）求函数的单调区间；

（2）证明：．

长沙市周南中学2023-2024学年高二上学期期末考试

数学试题简要答案

一、单选