人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 1.2.5 空间中的距离.ppt

1.2.5空间中的距离第一章

内容索引0102自主预习新知导学合作探究释疑解惑03随堂练习

课标定位素养阐释1.了解空间中两点之间的距离、点到直线的距离及两平行平面的距离等.2.能够利用向量法求各种空间距离.3.重点提升数学运算、直观想象和逻辑推理素养.

自主预习新知导学

一、两点之间的距离1.给定空间中不重合的两点A,B,以A,B为端点的曲线段有多少条?是否存在长度最短的线段?提示:无数.存在.2.空间中两点之间的距离指的仍是这两个点连线的线段长.

3.如图,空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于a,点M,N分别是边AB,CD的中点,则M,N两点之间的距离是.?

二、点到直线的距离1.已知点A在直线l外,点P是直线l上的一个动点,AP是否存在最小值?若存在,请说明AP最小时点P的位置.提示:存在.当AP⊥l时,AP存在最小值.2.给定空间中一条直线l及l外一点A,因为l与A能确定一个平面,所以过A可以作直线l的一条垂线段,这条垂线段的长称为点A到直线l的距离.(1)点到直线的距离是这个点与直线上点的最短连线的长度.(2)如果点A是直线l上的点,则约定A到直线l的距离为0.

3.在正四面体PABC中,若棱长均为a,D为AB的中点,则点P到CD的距离为.?解析:由题意知,P到CD的距离就是正四面体PABC的高PO,如图.

2.给定空间中一个平面α及α外一点A,过A可以作平面α的一条垂线段,这条垂线段的长称为点A到平面α的距离.(1)点到平面的距离是这个点与平面内点的最短连线的长度.(2)如果点A是平面α内一点,则约定A到平面α的距离为0.(3)一般地,若A是平面α外一点,B是平面α内一点,n是平面α的一个法向量,则点A到平面α的距离

3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E是上底面A1B1C1D1的中心,则点E到平面ABC1D1的距离是.?

四、相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离1.若直线l∥平面α,P∈l,Q∈l,则P,Q到平面α之间的距离有什么关系?提示:相等.2.若平面α∥平面β,点P,Q是平面α内的任意两点,点P,Q到平面β的距离有什么关系?提示:相等.

3.当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离;当平面与平面平行时,一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离.一般地,与两个平行平面同时垂直的直线,称为这两个平面的公垂线,公垂线夹在平行平面间的部分,称为这两个平面的公垂线段.显然,两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长.相互平行的直线与平面之间的距离、相互平行的平面与平面之间的距离,都可以归结成点到平面的距离,因此同样可以通过空间向量来求得.4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=4,则B1D1到平面ABCD的距离为;平面AA1D1D到平面BB1C1C的距离为.?答案:41

【思考辨析】判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)点到直线的距离就是点和直线上任意一点之间的距离.()(2)若直线与平面平行,则直线到平面的距离即为直线上的任意一点到平面的距离.()(3)两平行平面的距离即为其中一平面上任意一点到另一平面的距离.()(4)若空间两点已定,则它们之间的距离是定值.()(5)若直线l与平面α相交,则直线l到平面α的距离无法确定.()×√√√×

合作探究释疑解惑

探究一两点之间的距离及点到直线的距离【例1】如图,在二面角α-l-β中,AB?α,且AB⊥l,CD?β,CD⊥l,B,C∈l,且AB,CD的夹角为60°.若AB=BC=CD=1,求A与D两点间的距离.

2.点到直线的距离往往转化为这个点到直线上点的最短距离.

【变式训练1】已知矩形ABCD,AB=4,AD=3.沿对角线AC折叠,使平面ABC与平面ADC垂直,求B,D两点间的距离.

解:过点D和点B分别作DE⊥AC并交AC于点E,BF⊥AC交AC于点F,则由已知条件可知AC=5,

探究二点到平面的距离【例2】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别是C1C,D1A1,AB的中点,求点A到平面EFG的距离.分析:建立空间直角坐标系,利用向量法求解.

在本例条件下,求点F到直线EG的距离.

用向量法求点到平面的距离(1)结合图形建立恰当的空间直角坐标系.(2)在坐标系中,求出点到平面内任一点对应的向量(3)求出平面的法向量n.

【变式训练2】如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,E,F分别是AB,PD的中点.若PA=AD=3,CD=,求点F到平面PCE