人教B版高中数学必修第一册精品课件 第3章 函数 3.1.1 第4课时 分段函数及其应用.ppt

第4课时分段函数及其应用第三章

内容索引0102自主预习新知导学合作探究释疑解惑03随堂练习

课标定位素养阐释1.了解简单的分段函数.2.会用解析法及图象法表示分段函数.3.根据分段函数能研究有关性质.

自主预习新知导学

分段函数1.阅读下面的实例并回答问题:某市空调公共汽车的票价按下列规则制定:不超过5km,票价2元;5km以上,每增加5km,票价增加1元(不足5km的按5km计算).已知两个相邻的公共汽车站间相距1km,沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站.(1)从起点站出发,公共汽车的行程x(单位:km)与票价y(单位:元)有函数关系吗?提示:有函数关系.

(2)若有函数关系,则函数的解析式是什么?(3)x与y之间有何特点?提示:当x在不同区间内取值时,与y所对应的关系不同.

2.如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式,则称其为分段函数.解析:(1)分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪[1,+∞).(2)f(2)+f(-1)=(2×2-1)+[2-4×(-1)]=9.答案:(1)(-∞,0)∪[1,+∞)(2)9

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)分段函数各段上的自变量的取值范围的并集为R.()(2)分段函数各段上的函数值集合的交集为?.()(3)分段函数的图象一定是不连续的.()×××

合作探究释疑解惑

探究一分段函数求值问题

(2)当a≤-2时,a+1=3,解得a=2-2,不合题意,舍去;当-2a2时,a2+2a=3,即a2+2a-3=0.解得a=1或a=-3.∵1∈(-2,2),-3?(-2,2),∴a=1符合题意;当a≥2时,2a-1=3,解得a=2,符合题意.综上可得,a=1或a=2.

1.求分段函数的函数值的方法先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间,再代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值,直到求出所要求的值为止.2.求某条件下自变量的值的方法先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,再相应求出自变量的值,切记要代入检验.

(1)求f(f(-2))的值;(2)求f(a2+1)(a∈R)的值;(3)当-4≤x3时,求f(x)的值域.

解:(1)∵f(-2)=1-2×(-2)=5,∴f(f(-2))=f(5)=4-52=-21.(2)∵当a∈R时,a2+1≥10,∴f(a2+1)=4-(a2+1)2=-a4-2a2+3(a∈R).(3)当-4≤x0时,f(x)=1-2x,则1f(x)≤9;当x=0时,f(x)=2;当0x3时,f(x)=4-x2,则-5f(x)4.综上,当-4≤x3时,函数f(x)的值域是(-5,9].

探究二分段函数的图象【例2】已知函数(1)用分段函数的形式表示函数f(x);(2)画出函数f(x)的图象;(3)写出函数f(x)的值域.

(2)函数f(x)的图象如图所示.(3)由(2)知,f(x)在区间(-2,2]上的值域为[1,3).

1.对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数图象.2.作分段函数的图象时,分别作出各段的图象.在作每一段图象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可.作图时要特别注意接点处点的虚实,保证不重不漏.

(1)画出f(x)的图象;(2)求f(x)的值域.解:(1)利用描点法,作出f(x)的图象,如图所示.(2)由图象易知,f(x)的值域为[0,1].

数学建模建立分段函数模型【典例】如图,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC长为7,腰长为2.当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分.令BF=x(0x7),试写出直线l左边部分的面积y关于x的函数解析式,并画出图象.

解:过点A,D分别作AG⊥BC,DH⊥BC,垂足分别是G,H.因为四边形ABCD是等腰梯形,底角为45°,AB=2,所以BG=AG=DH=HC=2.又BC=7,所以AD=GH=3.(1)当点F在线段BG上,即x∈(0,2]时,y=x2;(2)当点F在线段GH上,即x∈(2,5]时,y=×2=2x-2;

当自变量在不同区间有不同的解析式时,往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系,而分段函数的图象也需要分段画出.

如图,在典例中,把梯形ABCD换为△ABC,∠ABC=∠BCA=45°,底边BC长为7.当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与△ABC有公共点)时