直线、平面垂直的判定及性质.ppt

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1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理．

2.能运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间图形的位置关系的简单命题.;1个重要关系

垂直问题的转化关系：;

2种必会方法

1.证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a∥b，a⊥α＝b⊥α；③α∥β，a⊥α?a⊥β；④面面垂直的性质．

2.判定面面垂直的方法有：①面面垂直的定义．②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．;3点必须注意

1.解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写过程，如用判定定理证明线面垂直时，一定要体现出“平面中的两条相交直线”这一条件．

2.两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，应用时常添加的辅助线是在一平面内作两平面交线的垂线．

3.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.;;

1.直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

直线l与平面α内的________直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．;(2)直线与平面垂直的判定定理;(3)直线与平面垂直的性质定理;(1)命题：如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直是真命题吗？其逆命题呢？

(2)如果两条平行线中有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面吗？;2．平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的判定定理;(2)平面与平面垂直的性质定理;(1)如果一条直线和一个平面垂直，那么经过这条直线的所有平面都和这个平面垂直吗？

(2)如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的任何一条直线都和另一个平面垂直吗？

(3)如果两个平面都和第三个平面垂直，那么这两个平面平行吗？;1.任意一条两条相交直线a，b?αa∩b＝Ol⊥al⊥b平行a⊥αb⊥α

想一想：提示：(1)假命题，真命题．

(2)垂直．

2．一条垂线l?βl⊥α交线α⊥βα∩β＝al?βl⊥a

想一想：提示：(1)垂直(2)不一定(3)不一定;;例1若有平面α与β，且α∩β＝l，α⊥β，P∈α，P?l，则下列说法中错误的是________．(填序号)

①过点P且垂直于α的直线平行于β；

②过点P且垂直于l的直线平行??β；

③过点P且垂直于β的直线在α内；

④过点P且垂直于l的直线在α内．;[解析]如图(1)所示，设过点P且垂直于α的直线为b，过l上的任意一点A作直线a，使a⊥l，且a?β.因为α⊥β，所以a⊥α.所以a∥b.根据直线与平面平行的判定定理可知b∥β.所以①正确．

如图(2)所示，过点P作a⊥l，垂足为A.过点A作直线b⊥l，且a?α，b?β.;设过直线a、b的平面为γ，因为a⊥l，b⊥l，a∩b＝A，所以l⊥γ.在平面γ内过点P任作一条直线m，∵l⊥γ，∴l⊥m，而m与β可能平行，也可能相交．所以②不正确．;如图(3)所示，过点P在平面α内作直线a⊥l.根据两平面垂直的性质定理可知，a⊥β.又因为在同一个平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以③正确．

如图(4)所示，过点P垂直于直线l的直线可能在平面α内，也可能不在平面α内．

过点P作直线a⊥l交l于点A，过点A作直线b⊥l，所以l⊥平面ABP，可知l⊥BP.因为BP?α，所以④不正确．

[答案]②④;本题利用了几何图形来判断真假．解决本类问题应注意以下几点：

(1)作图要熟练，借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准、甚至无需作图在头脑中形成印象来判断．

(2)善于寻找反例，只要存在反例，那么结论就被驳倒了．

(3)要思考完整，反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明．;

[变式探究][2012·浙江高考]设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是()

A.若l∥α，l∥β，则α∥β

B.若l∥α，l⊥β，则α⊥β

C.若α⊥β，l⊥α，则l⊥β

D.若α⊥β，l∥α，则l⊥β;

答案：B

解析：A选项中由l∥α，l∥β不能确定α与β的位置关系，C选项中由α⊥β，l⊥α可推出l∥β或l?β，D选项由α⊥β，l∥α不能确定l与β的位置关系．也可借助正方体模型作出判断．;例2[2012·福建高考]如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．

(1)求三棱锥A－MCC1的体积；

(2)当A1M＋MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC.;

又由长方体ABCD－A1B1C1D1知，B1C1⊥平面CDD1C1，∴B1C1⊥CM.

又B1C1∩C1M＝C1，

∴CM⊥平面B1C1M，得CM⊥B1M.

同理可证，B1M⊥AM，

又AM∩MC＝M，∴B1M⊥平面MAC.;奇思妙想：在棱A1B1上是否