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数学试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.集合,若,则集合可以为()
A. B. C. D.
2.已知,为方程的两个虚根,则()
A. B. C. D.
3.已知,则成立的充分不必要条件是()
A. B. C. D.
4.已知双曲线E:的两条渐近线与抛物线C:分别相交于点O,M,N,其中O为坐标原点,若的面积为2,则E的离心率为()
A. B. C.2 D.
5.已知函数,,若,则所有满足条件的之和为()
A. B. C. D.
6.已知,若,则()
A. B. C. D.
7.在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,,,则()
A. B. C. D.
8.已知是定义在上的函数,,若对有,成立,则()
A.72 B.75 C.77 D.80
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9.若函数的图象上至少存在两个不同的点P,Q,使得曲线在这两点处的切线垂直,则称函数为“垂切函数”.下列函数中为“垂切函数”的是()
A. B. C. D.
10.如图,正方体的边长为4,,平面经过点,,则()
A.
B.直线与直线所成角的正切值为
C.直线与平面所成角的正切值为
D.若,则正方体截平面所得截面面积为26
11.已知抛物线:的焦点为F,点在C的准线上,过点P作的两条切线,切点分别为M,N,则()
A.M,F,N三点共线
B.若,则的方程为
C.当时,直线的方程为
D.面积的最小值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.的展开式中的系数为_________.
13.如图,等边的边长为4,点D为边的中点,以为折痕把折叠,在折叠过程中当三棱锥的体积最大时,该棱锥的外接球的表面积为__________.
14.已知点,分别为双曲线的左、右焦点,点A为C的右顶点,点P为C右支上的动点,记,分别为,内切圆半径.若,,成等差数列,则_________.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
截至2月10日2时,中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》全媒体累计触达142亿人次,收视传播人次等数据创下新纪录.
(1)某媒体随机抽查200名在线用户,得到2×2列联表,根据该表是否有99.5%的把握认为完整观看与年龄有关?
完整观看
未完整观看
合计
不超过30岁
60
40
100
超过30岁
80
20
100
合计
140
60
200
(2)某媒体举办“看春晚赢文创”在线活动,每个在线用户在看春晚期间有三次答题机会,三次回答正确就可以赢得文创奖品,第一题预设难度(预设难度:用户回答正确的概率)0.8,后两题预设难度0.6,且每道题回答正确与否互不影响.记X为每个参加答题的用户答对题目个数,求X的分布列及期望.
参考公式和数据:
,其中.
0.025
0.010
0.005
5.024
6.635
7.879
16.(15分)
如图,在长方体中有一八面体,其中点G,H分别为正方形,正方形的中心,点M,N,P,Q分别为侧棱,,,的中点,且.
(1)证明:平面平面;
(2)求钝二面角的余弦值.
17.(15分)
已知数列是公差不为0的等差数列,其前n项和为,,,,成等比数列.
(1)求的通项公式;
(2)若,,求数列的前100项和.
18.(17分)
椭圆:的离心率为,圆:的周长为.
(1)求的方程;
(2)如图,是的左焦点,过的直线交圆O于点M,N,线段的垂直平分线交C于点P,Q,交于点A.
(i)证明:四边形的面积为定值.
(ii)记,的面积分别为,,求的取值范围.
19.(17分)
已知函数,.
(1)曲线与在处的切线分别是:,,且,求的方程;
(2)已知.
(i)求的取值范围;
(ii)设函数的最大值为,比较与(1)中的的大小.
绝密★启用前(新高考卷)
数学参考答案
1.【答案】C
【解析】∵,,∴集合可以为.
2.【答案】B
【解析】∵,,∴,..
3.【答案】A
【解析】∵,,且,∴或或.A正确
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