考研数学一(随机变量的数字特征)模拟试卷2(题后含答案及解析).pdfVIP

考研数学一（随机变量的数字特征）模拟试卷2(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设二维随机变量(X，Y)满足E(XY)=EXEY，则X与Y

A．相关．

B．不相关．

C．独立．

D．不独立．

正确答案：B

解析：因E(XY)=EXEY，故Cov(X，Y)=E(XY)一EXEY=0，X与Y不相关，

应选(B)．知识模块：随机变量的数字特征

2．将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次

数，则X和Y的相关系数等于

A．一1．

B．0．

C．

D．1

正确答案：A

解析：依题意，Y=n—X，故ρXY=－1．应选(A)．一般来说，两个随机变

量X与Y的相关系数ρXY满足｜ρXY｜≤1．若Y=aX+b，则当a＞0时，ρ

XY=1，当a＜0时，ρXY=－1．知识模块：随机变量的数字特征

3．对于任意二随机变量X和Y，与命题“X和Y不相关”不等价的是

A．EXY=EXEY．

B．Cov(X，Y)=0．

C．DXY=DXDY．

D．D(X+Y)=DX+DY．

正确答案：C

解析：由于Cov(X，Y)=EXY—EXEY=0是“X和Y不相关”的充分必要条

件，可见(A)与(B)等价．由D(X+Y)=DX+DY的充分必要条件是Coy(X，Y)=0，

可见(B)与(D)等价．于是，“X和Y不相关”与(A)，(B)和(D)等价．故应选(C)．选

项(C)不成立是明显的，为说明选项(C)不成立，只需举一反例．设X和Y同服

从参数为p(0＜p＜1)的0-1分布且相互独立，从而X与Y不相关．易见

DX=DY=p(1一p)；乘积XY服从参数为p2的0-1分布：P{XY=1}=P{X=1，

Y=1}=p2，p{XY=0}=1一p2．因此DXY=P2(1一P2)≠P2(1一p)2=DXDY．知

识模块：随机变量的数字特征

4．假设随机变量x在区间[一1，1]上均匀分布，则U=arcsinX和V=arccosX

的相关系数等于

A．一1．

B．0．

C．0．5．

D．1

正确答案：A

解析：注意到U=arcsinX和V=arccosX满足下列关系：arcsinX=－arccosX，

即U=－V+，由于U是V的线性函数，且其增减变化趋势恰恰相反，所以其相

关系数ρ=－1．应选(A)．知识模块：随机变量的数字特征

5．设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞1)独立同分布，且方差σ2＞0，记的

相关系数为

A．一1．

B．0．

C．．

D．1

正确答案：B

解析：由于Xi独立同分布，故DXi=σ2，D，Cov(X1，Xi)=0(i≠1)，故应

选(B)．(注：容易计算D(X1一σ2．)知识模块：随机变量的数字特征

填空题

6．两名射手各向自己的靶独立射击，直到有一次命中时该射手才(立即)停

止射击．如果第i名射手每次命中概率为Pi(0＜Pi＜1，i=1，2)，则两射手均停

止射击时脱靶(未命中)总数的数学期望为___________．

正确答案：

解析：每位射手的射击只有两个基本结果：中与不中，因此两射手的每次射

击都是一个伯努利试验．每位射手直到他有一次命中时方停止射击，因此此时的

射击次数应服从几何分布；此时的射击次数一1=未击中的次数．以Xi表示第i

名射手首次命中时的脱靶数，则此时他的射击次数Xi+1服从参数为pi的几何分

布，因此P{Xi=k}=(1一Pi)kPi，i=1，2，且E(Xi+1)=，i=1，2，于是EXi=E(Xi+1)

－1=－