10.1-微分方程的基本概念.ppt

第十章???微分方程与差分方程§10.1微分方程的基本概念§10.2一阶微分方程§10.3高阶微分方程§10.4差分方程的基本概念§10.5一阶常系数线性差分方程§10.6二阶常系数线性差分方程§10.7微分方程与差分方程在经济学中的应用微积分研究的对象是函数关系,但在实际问题中,往往很难直接得到所研究变量之间的函数关系,但却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的关系,从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程,即微分方程.微分方程是数学联系实际,并应用于实际的重要途径和桥梁,是各个学科进行科学研究的强有力的工具.在自然科学,生物科学以及经济与管理科学中的许多问题都可以建立起微分方程的数学模型.例如,物体的冷却、人口的增长、电子波的传播等.微分方程是一门独立的数学学科,有完整的理论体系.本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常见的微分方程求解方法.本章还介绍差分方程的一些基本概念及一阶、二阶常系数线性差分方程求解方法.最后将简单地介绍微分方程和差分方程在经济学中的应用.§10.1微分方程的基本概念一.引例二.微分方程的概念一.引例例1已知曲线通过点(0,1)且在该曲线上的任一点处的切线斜率为求该曲线方程.解设所求曲线的方程为y=f(x),根据导数的几何意义知道,未知函数应满足关系式并且满足下列条件将方程(10.1.1)两端积分,得将代入方程,得C=1.故所求曲线方程为例2某种商品的需求量Q对价格p的弹性为-1.5p.已知该商品的最大需求量为800(即p=0时的需求量),求需求量Q与价格p的函数关系.解设所求的函数关系为Q=Q(p)则由题意可知，它应满足由（10.1.4），得C=800.即得所求函数关系为将(10.1.3)式整理积分，得上述两个例子,有一个共同特点：它们都是把一个实际问题归结为一个含有未知函数导数的方程的求解问题.数学上,人们把这种方程称为微分方程.定义10.1.1含有未知函数的导数(或偏导数)的方程,称为微分方程.当未知函数是一元函数时,称为常微分方程;当未知函数是多元函数时,称为偏微分方程.微分方程有时也简称方程.二.微分方程的概念例如,方程等都是常微分方程.等都是偏微分方程.而方程定义10.1.2微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶.例如,方程都是一阶微分方程,为二阶微分方程.一般地,n阶微分方程的形式为其中F是x,y,y,…,y(n)的已知函数,x为自变量,y为未知函数,且方程中一定含有y(n).其中f是x,y,y,…,y(n-1)的已知函数.n阶微分方程的另一种形式为如果微分方程中所含的未知函数和未知函数的各阶导数都是一次的,则称方程为线性微分方程.线性微分方程的一般形式为:其中a1(x)、…、an-1(x)、an(x),f(x)都是x的已知函数.其他形式的微分方程,统称为非线性微分方程.例如是线性微分方程是非线性微分方程定义10.1.3设函数y=φ(x)在区间Ｄ上有连续的n阶导数,并且对任意的x∈Ｄ,均有则称函数y=φ(x)为微分方程在区间Ｄ上的解.可以验证函数定义10.1.4若n阶微分方程的解中,含有n个独立任意常数，则称其为方程的通解;若n阶微分方程的解中不含有任意常数，则称其为方程的特解.例如确定n阶微分方程通解中n个独立的任意常数时,通常附加如下条件：我们称这组条件为微分方程的初始条件.微分方程满足初始条件的求解问题称为初值问题.n阶微分方程的初值问题通常记作微分方程解的图形是一条曲线,叫做微分方程的积分曲线.初值问题的几何意义,就是求微分方程的通的那条积分曲线.过点