选择题题库40道：计算机科学与技术-数学-高等数学_微分几何概论.docxVIP

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曲面论中，曲面的第一基本形式指的是什么的度量？

A．曲面内部距离

B．曲面的法向量长度

C．曲线在空间中的长度

D．曲面的曲率

答案:A

解析:第一基本形式是描述曲面内部距离的度量，与曲面的局部几何性质有关。

微分几何中常用于表示曲面的参数方程是什么形式？

A．r

B．r

C．r

D．r

答案:A

解析:在微分几何中，曲面通常用参数方程r=ru,v表示，其中u

曲线在曲面上的测地线是指什么？

A．曲面上的最短路径

B．曲面上的最长路径

C．曲面上的任意路径

D．曲面上的直线

答案:A

解析:测地线是曲面上的最短路径，类似于二维平面上的直线。

曲面的第二基本形式度量了什么？

A．法线与切线的夹角

B．曲面在空间中的面积

C．曲面法线的变化

D．曲面上一点的曲率

答案:C

解析:第二基本形式描述了曲面法线的变化，涉及曲面的外在几何性质。

隐函数定理是微分几何中用于解决什么问题的？

A．曲线的长度计算

B．曲面的面积计算

C．曲面的界定

D．曲面上的积分计算

答案:C

解析:隐函数定理是用于确定曲线和曲面的方程，从而界定曲面。

微分几何中，曲面的高斯曲率是？

A．主曲率之和

B．主曲率之差

C．主曲率的乘积

D．主曲率的商

答案:C

解析:高斯曲率定义为曲面在一点上两个主曲率的乘积，是曲面几何的一个重要概念。

曲面的平均曲率是指什么？

A．主曲率的几何平均

B．主曲率的算术平均

C．主曲率的调和平均

D．主曲率的平方平均

答案:B

解析:平均曲率是两个主曲率的算术平均值，描述了曲面局部曲率的平均效应。

微分几何中，曲面的等距映射保留了什么？

A．曲面的面积

B．曲面的法线方向

C．曲面的第一基本形式

D．曲面的第二基本形式

答案:C

解析:等距映射保留了曲面的第一基本形式，即曲面内部的距离。

曲面沿一条曲线的切方向的二阶导数，与该曲面的法向量的点积，称为？

A．法曲率

B．主曲率

C．测地曲率

D．曲线的曲率

答案:A

解析:法曲率是曲面沿一条曲线的切方向的二阶导数与曲面法向量点积的结果。

曲面上的任意一点，存在过该点的两个正交方向，其中的曲率称为？

A．法曲率

B．主曲率

C．测地曲率

D．曲线的曲率

答案:B

解析:主曲率是曲面上任意一点处的两个正交方向上的曲率，这两个方向是曲面的主方向。

微分几何中的黎曼度量是什么？

A．曲面上的内积运算

B．曲面上的外积运算

C．曲面上的交叉比运算

D．曲面上的向量加法

答案:A

解析:黎曼度量是定义在曲面上的内积运算，能够度量曲面上的向量长度和角度。

曲面上的等距变换映射的一个特征是？

A．改变法线方向

B．改变曲面的高斯曲率

C．改变曲面的面积

D．保持法线方向不变

答案:D

解析:等距变换映射的一个特征是保持法线方向不变。

曲面上的自然参数是？

A．沿曲线的弧长

B．曲线的法线方向角

C．曲面上的曲率半径

D．曲面上任意两点的最短距离

答案:A

解析:自然参数通常指的是沿曲线的弧长，用于描述曲线上点的位置。

下列哪个概念不属于微分几何的基本概念？

A．曲线

B．曲面

C．曲率

D．线性代数

答案:D

解析:线性代数虽然在微分几何中有应用，但不属于微分几何的基本概念。

微分几何中的曲面的切平面是指？

A．法线方向的平面

B．曲线在该点的切线构成的平面

C．曲面上两点连线构成的平面

D．曲面上任意两点构成的平面

答案:B

解析:曲面的切平面是在该点的所有切线构成的平面。

曲面上的线元素可以表示为？

A．d

B．d

C．d

D．d

答案:A

解析:曲面上的线元素通常表示为ds2=Ed

微分几何中，测地三角形的内角和与平面上三角形的内角和？

A．相等

B．测地三角形的内角和总是大于180°

C．测地三角形的内角和总是小于180°

D．内角和可能大于、小于或等于180°，取决于曲面的曲率

答案:D

解析:测地三角形的内角和受到曲面的曲率影响，可能大于、小于或等于180°。

微分几何中，用于描述曲线上点的曲率变化率的概念是？

A．高斯曲率

B．平均曲率

C．测地曲率

D．曲率的挠率

答案:D

解析:曲率的挠率描述了曲线上点的曲率变化率。

在微分几何中，下列哪个是测地线的特征？

A．测地线的切向量与曲面的法向量处处正交

B．测地线的切向量与曲面的法向量处处平行

C．测地线的切向量与曲面的切平面处处正交

D．测地线的曲率处处为0

答案:A

解析:测地线的切向量与曲面的法向量处处正交，是测地线的重要特征。

微分几何中，曲面的第一基本