2023年新高二暑期数学衔接（新人教版）第10讲 直线的倾斜角与斜率（教师版）.docxVIP

第10讲直线的倾斜角与斜率

【学习目标】

1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式

3.能根据斜率判定两条直线平行或垂直

【基础知识】

一、直线的倾斜角

1.当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向?与直线l向上的方向之间所成的角α

叫做直线l的倾斜角.

2.规定:当直线l与x轴平行或重合时,直线l的倾斜角为0°?.因此,直线的倾斜角α的取值

范围为0°≤α180°?

二、直线的方向向量

1.直线P1P2上的向量?以及与它平行的向量都是直线的方向向量?.

2.若P1(x1,y1),P2(x2,y2)是直线P1P2上的两点,则直线P1P2的一个方向向量的坐标为

三、直线的斜率

1.一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=?tanα????(α≠90°).

2.所有的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率,倾斜角是90°的直线没有斜率.

3.过两点的直线的斜率公式

经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是k=.

4.直线的方向向量与斜率的关系

(1)经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线,其方向向量为=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1)?,因

此,当直线的斜率k存在时,直线的一个方向向量的坐标为(1,k)???.

(2)当直线的一个方向向量的坐标为(x,y)(x≠0)时,直线的斜率k=.

四、两条直线(不重合)平行的判定

类型

斜率存在

斜率不存在

图示

?

?

对应关系

l1∥l2?k1=k2????

两直线斜率都不存在?

l1∥l2????

五、两条直线垂直的判定

类型

斜率都存在

有直线斜率不存在

图示

?

?

对应关系

l1⊥l2?k1k2=-1????

斜率不存在，斜率为0?l1⊥l2????

【考点剖析】

考点一：求直线的倾斜角

例1．若直线与直线垂直，直线的斜率为，则直线的倾斜角为______．

【答案】

【解析】设直线的倾斜角为，因为直线与直线垂直，直线的斜率为，则，

因为，因此，.

考点二：求直线倾斜角的范围

例2．已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是(???????)．

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题意，直线的倾斜角为，则，因为，即，

结合正切函数的性质，可得．故选B．

考点三：求直线的斜率

例3．经过两点,的直线的斜率为(???????)

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】经过两点,的直线的斜率为：；故选B.

考点四：求直线斜率的范围

例4．已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是(???????)

A． B．或 C． D．

【答案】B

【解析】如下图示，

当直线过A时，，当直线过B时，，由图知：或.

故选B

考点五：两直线平行问题

例5．若直线与直线平行，直线的斜率为，则直线的倾斜角为___________.

【答案】

【解析】因为直线与直线平行，直线的斜率为，

所以直线的斜率与直线的斜率相等，即直线的斜率为，

设直线的倾斜角为，则，

所以，即直线的倾斜角为

考点六：两直线垂直问题

例6．已知直线经过，，直线经过点，．如果，求的值．

【答案】5或2

【解析】因为直线经过点，，且，

所以的斜率存在，设斜率为，

当时，直线斜率不存在，，则，此时与垂直．

当时，，此时直线斜率存在．

由，得．解得．

综上，的值为或．

【真题演练】

1.(2022学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学高二下学期开学考试)直线，若的倾斜角为30°，则的斜率为(???????)

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，∴.故选B.

2.(2022学年江苏省镇江市第一中学高二上学期期末)若倾斜角为的直线过，两点，则实数(??????????)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，所以，解得；

故选C

3.(2022学年江西省南昌市实验中学高二12月月考)经过点、两点的直线的倾斜角为(???????)

A．90o B．120o C．135o D．150o

【答案】D

【解析】因直线过点、，则直线l的斜率，

直线l的倾斜角为满足，显然，则有，解得，

所以直线的倾斜角为.故选D

4.(多选)(2022学年湖南省怀化市第五中学高二上学期期中)在下列四个命题中，错误的有()

A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率

B．直线的倾斜角的取值范围是[0，π]

C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为45度

D