《空间向量基本定理》同步学案(教师版).docxVIP

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《空间向量基本定理》同步学案

情境导入

问题1:如图,向量AB,AD,AA是不共面的三个向量,请问向量AC

AC

由此可知,起点相同的三个不共面向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共起点为起点的对角线所示的向量.

问题2:如果向量AB,AD,AA分别和向量a,b,

AC

事实上,对空间任一向量AC,我们都可以构造出上述平行六面体,由此我们得到了空间向量基本定理.

自主学习

自学导引

1.空间向量基本定理

如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组

2.基底、基向量

a,b,c是空间________的三个向量,我们把_______叫做空间的一个基底

3.单位正交基底、正交分解

如果空间的一个基底中的三个基向量________,且长度都为______,那么这个基底叫做单位正交基底,常用________表示.

把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行___________.

答案

1.p=x

2.不共面a

3.两两垂直1i

预习测评

1.在以下三个命题中,真命题的个数是()

①三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则a

②若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则a

③若a,b是两个不共线向量,而c=λa+μb(λ,μ∈

A.0

B.1

C.2

D.3

2.在长方体ABCD-A1B1

A.AB

B.AB

C.D

D.A

3.设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任一点P,能得到P,A,B,C四点共面的是()

A.OP

B.OP

C.OP

D.以上皆错

4.若abc是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb

答案

1.C

解析:命题(1)(2)都是真命题,命题(3)是假命题.

2.C

解析:由题意知,D1A1,D

3.B

解析:因为OP=13OA+13OB+13OC,所以3OP=

4.x=y=z=0

解析:若x≠0,则a=-yxb-zxc,即a与b,c共面.由abc是空间的一个基底,知a,

新知探究

探究点1空间向量基本定理与基底的判断

知识详解

1.空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z)

我们把abc叫做空间的一个基底,a,b,c

2.判断某一向量组能否作为基底,关键是判断这几个向量是否共面.如果从正面难以入手,可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断.

典例探究

例1若abc为空间的一个基底,则下列各项中,能构成基底的一组向量是________(

①aa+ba-b;②ba+b

解析:若c,a+b,a-b共面,则c=λa+b+m(a-b

答案:③

点拨:看各组中的向量是否共面,若向量共面,则不能构成基底,否则可构成基底.

变式训练1若e1e2e3是空间的一个基底,且向量OA

答案:5

解析:因为OA,OB,OC不能构成空间的一个基底,故OA,OB,

使OC=xOA+yOB,即

解得x=83,y=-

探究点2用基底表示空间向量

知识详解

用基底表示空间向量的技巧：

(1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.

(2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据向量的三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算等进行变换、化简,最后求出结果.

(3)下结论:利用空间的一个基底abc可以表示出空间的所有向量.表示要彻底,结果中向量只能含有a,b,

典例探究

例2如图所示,在四面体OABC中,G,H分别是ΔABC,ΔOBC的重心,设OA=a,OB=b

解析:GH=OH-OG→用OD表示OH→用OB,OC表示OD,用OA,AG表示OG→用

答案:GH=

因为OH=

所以OH=

OG

=

=

所以GH=13b

变式训练2如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,设AB=a,AD=

(1)AP;(2)AM.

答案:如图,在平行六面体ABCD-A1B1C

1

=

=

2

=

=

探究点3空间向量基本定理的应用

知识详解

由空间向量基本定理可知,如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底,那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来,这为解决问题带来了方便.空间向量基本定理的应用体现在很多问题中,如用基向量表示其他向量,进而与向量的数量积运算相结合进行求解.

典例探究

例3如图所示,在平行六面体ABCD-ABCD中,AB=4,AD=3,AA=

(1)求AC的长;

(2)求AC与AC的夹角的余弦值.

解析:求线段长,要利用向量的方法求解,