2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系（原卷版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）.docxVIP

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2.5直线与圆、圆与圆的位置关系

知识点一直线与圆的位置关系

【

【解题思路】

直线与圆的位置关系的判断方法

(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．

(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．

(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．

【例1-1】（2024·河南·一模）已知圆，则下列说法错误的是（????）

A．点在圆外 B．直线平分圆

C．圆的周长为 D．直线与圆相离

【例1-2】（23-24高二下·陕西榆林·阶段练习）直线与圆的位置关系为（????）

A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定

【例1-3】（23-24高二下·河南濮阳·阶段练习）已知直线与圆和圆都相切，则实数的值为（???）

A． B． C． D．或

【变式】

1．（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）直线与圆的位置关系为（）

A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心

C．相切 D．相离

2．（24-25高二上·上海·单元测试）直线绕原点按逆时针方向旋转30°后所得的直线l与圆的位置关系是（????）

A．直线l过圆心 B．直线l与圆相交，但不过圆心

C．直线l与圆相切 D．直线l与圆无公共点

3．（22-23高二上·安徽芜湖·期中）圆与直线的交点个数为（????）

A．0个 B．1个 C．2个 D．与k的取值有关

4．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线与圆相交，则实数k的取值范围是．

5．（24-25高二上·上海·课堂例题）直线与曲线有两个不同的交点，则实数b的取值范围是．

知识点二直线与圆的弦长

【

【解题思路】

直线与圆相交时的弦长求法

几何法

利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))2解题

代数法

若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长

弦长公式法

设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长

l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(?1＋k2?[?x1＋x2?2－4x1x2])

【例2-1】（24-25高二上·上海·期中）若圆与直线相交于A、B两点，则弦的长为．

【例2-2】（24-25高二上·上海·课堂例题）过点的直线l与圆C：相交于A、B两点，则的最小值是．

【例2-3】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）直线，被圆截得最短弦的长为（????）

A． B． C． D．

【例2-4】（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知圆心为的圆与x轴交于A、B两点，，则该圆的方程是（????）

A． B．

C． D．

【变式】

1．（23-24高二上·江西上饶·期末）直线被圆所截得的弦长为（????）

A．2 B． C． D．10

2．（23-24高二下·山西长治·期末）已知直线被圆心为的圆截得的弦长为，则该圆的方程为（????）

A． B．

C． D．

3．（23-24高二下·重庆·期末）过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（????）

A． B． C．4 D．2

4．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）直线截圆所得弦长的最小值为（????）

A． B． C． D．

5．（23-24高二下·安徽六安·期末）“”是“直线被圆截得的弦长为”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．即不充分也不必要条件

知识点三圆上或圆外一点求切线方程

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【解题思路】

求过某一点的圆的切线方程

(1)点(x0，y0)在圆上．

①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－eq\f(1,k)，由点斜式可得切线方程．

②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.

(2)点(x0，y0)在圆外．

①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．

②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．

③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．

【例3-1】（23-24高二下·上海静安·期末）圆在点处的切线方程为．

【例3-2】（23-24高二下·河北张家口·期中）已知和点，则过点的的所有切线方程为.

【例3-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）由点向圆引的切线长是（????）

A．3 B． C