人教A版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第四章 数列 学习单元5 数学归纳法 分层作业册 (2).pptVIP

第四章学习单元5*数学归纳法

1234567891011A级必备知识基础练C

12345678910112.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从“n=k”到“n=k+1”,左边需增添的代数式是()A.(2k+1)+(2k+2)B.(2k-1)+(2k+1)C.(2k+2)+(2k+3)D.(2k+2)+(2k+4)C解析当n=k时,左边共有2k+1个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1),所以当n=k+1时,左边共有2k+3个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3).故选C.

12345678910113.利用数学归纳法证明不等式(n≥2,n∈N*)的过程中,由“n=k”到“n=k+1”时,左边增加了()A.1项 B.k项 C.2k-1项 D.2k项D解析用数学归纳法证明不等式的过程中,假设n=k时不等式成立,左边

12345678910114.用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*).从n=k(k∈N*)到n=k+1,若设f(k)=(k+1)(k+2)…(k+k),则f(k+1)=()A.f(k)+[2(2k+1)] B.f(k)·[2(2k+1)]B解析由数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*)时,从“k”到“k+1”的证明,左边需增添的一个因式是=2(2k+1),则f(k+1)=f(k)·[2(2k+1)].

1234567891011D

12345678910116.用数学归纳法证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2(n∈N*).证明记Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n2,当n=1时,则有S1=1=12,等式成立;假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即Sk=1+3+5+…+(2k-1)=k2,则Sk+1=Sk+2(k+1)-1=k2+2k+1=(k+1)2,这说明当n=k+1(k∈N*)时,等式成立,故对任意的n∈N*,1+3+5+…+(2n-1)=n2.

1234567891011解(1)由a1=1,an+1=2an+1得a2=2a1+1=3;a3=2a2+1=7;a4=2a3+1=15.(2)由(1)猜想an=2n-1(n∈N*),证明如下:当n=1时,a1=21-1=1,即an=2n-1成立;假设当n=k(k∈N*)时,ak=2k-1成立,那么当n=k+1时,ak+1=2ak+1=2(2k-1)+1=2k+1-1,即an=2n-1(n∈N*)成立.综上,当n∈N*时,an=2n-1.7.设数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1.(1)计算a2,a3,a4;(2)猜想{an}的通项公式并加以证明.

12345678910118.利用数学归纳法证明等式1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+n·1=n(n+1)(n+2)(n∈N*),当n=k时,左边的和1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+k·1,记作Sk,则当n=k+1时左边的和,记作Sk+1,则Sk+1-Sk=()A.1+2+3+…+k B.1+2+3+…+(k-1)C.1+2+3+…+(k+1) D.1+2+3+…+(k-2)B级关键能力提升练C解析依题意,Sk=1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+k·1,则Sk+1=1·(k+1)+2·k+3·(k-1)+4·(k-2)+…+k·2+(k+1)·1,∴Sk+1-Sk=1·[(k+1)-k]+2·[k-(k-1)]+3·[(k-1)-(k-2)]+4·[(k-2)-(k-3)]+…+k·(2-1)+(k+1)·1=1+2+3+…+k+(k+1).

12345678910119.记凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+.?π解析由凸k边形变为凸k+1边形时,增加了一个三角形图形,故f(k+1)=f(k)+π.

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123456789101111.设n∈N*,用数学归纳法证明:f(n)=32n+2-8n-9是64的倍数.证明(1)当n=1时,f(1)=34-8-9=64能被64整除,命题成立.(2)假设当n=k时,f(k)=32k+2-8k-9能够被64整除;当n=k+1时,f(k+1)=32k+4-8(k+1)-9=9[32k+2-8k-9]+64k+64=9[32k+2-8k-9]