人教A版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第四章 数列 学习单元1 第2课时 数列的递推公式.pptVIP

第四章学习单元1第2课时数列的递推公式

学习目标1.理解数列递推公式的含义,会用递推公式解决有关问题.(逻辑推理)2.会利用数列的前n项和Sn与an的关系求通项公式.(数学运算)

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基础落实·必备知识一遍过

知识点1递推公式如果一个数列的之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.?相邻两项或多项微点拨通项公式与递推公式的区别通项公式直接反映了an与n之间的关系,即已知n的值,就可代入通项公式求得该项的值an;递推关系则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,要求an,需将与之相关的各项依次求出.

微思考2.是否所有的数列都有递推公式?提示不一定.比如高二年级某班学生的学号与视力对应的数列,具体如下:学号12345678910视力4.05.04.53.54.05.05.04.54.04.5

知识点2数列的通项公式与前n项和1.数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.共有n项微点拨由Sn-Sn-1求得的an,若当n=1时,a1的值不等于S1的值,则数列的通项公式应采用分段形式表示,即

提示n≥2,n∈N*,而不能只是n∈N*,这是因为当n=1时Sn-1=S0,数列中S0无意义.微思考1.若数列{an}的前n项和为Sn,则关系式an=Sn-Sn-1的使用条件是什么?2.由数列的前n项和公式求出的数列通项公式是否只能写成分段形式?提示不一定.如果a1满足an(n≥2),就可以直接写成一个式子.如Sn=n2,因为a1=1满足an=2n-1(n≥2),故an直接写成一个式子即可.

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问题1数列的项的取值规律可以通过哪些方式来表示?问题2如何根据递推关系求出数列的若干项?数列的项与什么对应关系很相似?

探究点一由递推公式求前若干项【例1】(多选题)已知数列{an}中,a1=3,an+1=-,则能使an=3的n可以为()A.22 B.24 C.26 D.28AD分析通项公式不好求,可由a1的值和递推公式,分别求出a2,a3,a4的值.

规律方法由递推公式写出数列的项的方法根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.另外,解答这类问题时还需注意:若已知首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;若已知末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式;若项数很大,则应考虑数列的周期性.

探究点二由递推公式猜想数列的通项公式问题3根据数列的前若干项,怎样才能更好地猜想数列的通项公式?【例2】已知数列{an}满足a1=-1,an+1=an+,n∈N*,写出数列{an}的前5项,并猜想通项公式an.分析根据递推公式,分别写出前5项,再观察结构,写出通项公式.

规律方法由递推公式猜想通项公式(1)形式要一致.由a1得出的a2,a3,…,形式要一致,容易发现规律.(2)积累常见数列的规律.如数列1,3,5,7,…的一个通项公式是2n-1;数列1,3,7,15,…的一个通项公式是2n-1.

探究点三由数列的前n项和求通项公式【例3】(1)若数列{an}的前n项和Sn=-2n2+10n,求数列{an}的通项公式.问题4如何根据数列的前n项和公式求数列的通项公式?在求解过程中为什么需要关注n的范围?解∵Sn=-2n2+10n,∴当n≥2时,Sn-1=-2(n-1)2+10(n-1),∴an=Sn-Sn-1=-2n2+10n+2(n-1)2-10(n-1)=-4n+12(n≥2).当n=1时,a1=-2+10=8=-4×1+12.此时满足an=-4n+12,∴an=12-4n.

(2)若数列{an}的前n项和Sn=-2n2+10n+1,求数列{an}的通项公式.解∵Sn=-2n2+10n+1,当n≥2时,Sn-1=-2(n-1)2+10(n-1)+1,∴an=Sn-Sn-1=-2n2+10n+2(n-1)2-10(n-1)=-4n+12(n≥2).又当n=1时,a1=-2+10+1=8+1=9,不符合上式,

规律方法[提醒]应重视分类讨论的思想,分n=1和n≥2两种情况讨论.当n=1时,a1不适合an的情况要分开写,即

本节要点归纳1.知识清单:(1)数列递推公式的概念.(2)由递推公式求