人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第三章 3.3.2 抛物线的简单几何性质.pptVIP

3.3.2抛物线的简单几何性质第三章

课标要求1.了解抛物线的简单几何性质.2.能运用抛物线的几何性质解决相关问题.3.掌握直线与抛物线的位置关系,并会用方程思想解决此类问题.

内容索引0102基础落实?必备知识全过关重难探究?能力素养全提升03学以致用?随堂检测全达标

基础落实?必备知识全过关

知识点1抛物线的简单几何性质标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)图形范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R对称轴x轴???焦点F???x轴y轴y轴

标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)顶点?准线x=-???离心率?开口方向向右向?向?向?原点(0,0)e=1左上下

名师点睛1.抛物线没有渐近线,在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状,因为双曲线的开口越来越开阔,而抛物线的开口越来越扁平.2.抛物线的顶点只有一个,抛物线的焦点总在对称轴上,抛物线的准线始终与对称轴垂直.

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)抛物线关于顶点对称.()(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.()(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.()2.抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的有何不同?√×√提示抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的相比有较大差别,它的离心率为定值1,只有一个焦点,一个顶点、一条对称轴、一条准线,没有渐近线,没有对称中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆、双曲线为有心圆锥曲线.

知识点2直线与抛物线的位置关系设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.(1)若k≠0,当Δ0时,直线与抛物线相交,有两个交点;当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个切点;当Δ0时,直线与抛物线相离,没有公共点.(2)若k=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.直线与抛物线只有一个公共点时,可以直线与抛物线相切,也可以相交

过关自诊已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p0),则()A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点答案C解析∵直线y=kx-k=k(x-1),∴直线过点(1,0),又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部,∴当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.

重难探究?能力素养全提升

探究点一抛物线几何性质的应用【例1】已知抛物线y2=8x.(1)求出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量x的范围.(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,其中|OA|=|OB|.若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.思路分析(1)利用抛物线的对应性质求解;(2)利用抛物线的对称性及重心的性质求解.解(1)抛物线y2=8x的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量x的范围分别为(0,0),(2,0),直线x=-2,x轴,[0,+∞).

(2)如图所示.由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,设垂足为点M.因为焦点F是△OAB的重心,

规律方法抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用,但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件.其中应用最广泛的是范围、对称性、顶点坐标.在解题时,应先注意开口方向、焦点位置,选准标准方程形式,然后利用条件求解.要注意运用数形结合思想,根据抛物线的定义,将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化.

变式训练1已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,坐标原点O为抛物线的顶点,若△OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程.

探究点二直线与抛物线的位置关系【例2】已知抛物线y2=2x,过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A,B两点,试求弦AB的中点的轨迹方程.

规律方法1.解决中点弦问题的基本方法是点差法,因为用点差法求轨迹方程时用到了斜率,所以必须验证斜率不存在的情况.2.直线与抛物线相交于两点,隐含着条件Δ0,求y1+y2及x1+x2是为利用中点坐标公式做准备.3.设直线l:y=kx+b,抛物线y2=2px(p0),将直线方程与抛物线方程联立消元得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.(1)若k2=0,此时直线与