人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第一章 1.1.2 空间向量的数量积运算.pptVIP

;;内容索引;基础落实?必备知识全过关;知识点1空间向量的夹角

已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作,向量夹角的取值范围是.如果a,b=,那么向量a,b互相垂直,记作.?

名师点睛

1.由定义知,只有两个非零空间向量才有夹角,当两个非零空间向量共线同向时,夹角为0;共线反向时,夹角为π.

2.对空间任意两个非零向量a,b有:

①a,b=b,a;②-a,b=a,-b=π-a,b;③-a,-b=a,b.;过关自诊

1.判断正误.(正确的画√,错误的画×);知识点2空间向量的数量积

1.定义:已知两个非零向量a,b,则叫做a,b的数量积,记作.?

即a·b=|a||b|cosa,b.

特别地,零向量与任意向量的数量积为.?;2.数量积的运算性质

a·e=|a|cosa,e(e为单位向量).

若a,b是非零向量,则a⊥b?a·b=0;

若a与b同向,则a·b=|a||b|;

若a与b反向,则a·b=-|a||b|.;3.向量a在向量b上的投影向量

在空间,向量a向向量b投影,得到与向量b共线的向量c,c=|a|cosa,b,向量c称为向量a在向量b上的投影向量.

4.向量a在平面β上的投影向量

分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A,B,得到向量;5.数量积的运算律:

(λa)·b=,λ∈R;?

a·b=(交换律);?

(a+b)·c=(分配律).?;名师点睛

1.对空间向量数量积的理解

(1)两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;;过关自诊

1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)

(1)对于非零向量b,由a·b=b·c,可得a=c.()

(2)若非零向量a,b为共线且同向的向量,则a·b=|a||b|.()

(3)对任意向量a,b,满足|a·b|≤|a||b|.();2.若a·b0,则a,b一定是锐角吗?;重难探究?能力素养全提升;;规律方法空间向量运算的方法与步骤

方法:(1)利用定义,直接利用a·b=|a||b|cosa,b并结合运算律进行计算.

(2)利用图形,计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算.

(3)利用向量分解,在几何体中进行向量的数量积运算时,要充分利用几何体的性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算.

步骤:(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的线性组合形式;

(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积;

(3)代入a·b=|a||b|cosa,b求解.;变式探究

若本例条件不变,试求.;变式训练1

在四面体O-ABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,点;;规律方法利用向量数量积求夹角问题的思路

(1)结合图形,平移向量,把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用三角形的知识求解;

(2)先求a·b,再利用公式cosa,b=求cosa,b,最后确定a,b.;变式训练2

(1)若非零空间向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为()

A.30° B.60° C.120° D.150°

(2)已知空间四面体OABC各边及对角线长都等于2,E,F分别为;;规律方法利用数量积证明垂直问题的一般方法

将所证垂直问题转化为证明线线垂直,然后把直线转化为向量,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的线性运算以及数量积运算,证明直线所在向量的数量积等于零,即可证明线线垂直.;变式训练3

已知在四面体OABC中,M,N,P,Q分别为BC,AC,OA,OB的中点,若AB=OC,求证:PM⊥QN.;;规律方法求两点间的距离或线段长度的方法;变式训练4

正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长是();;学以致用?随堂检测全达标;1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各对向量夹角为45°的是();答案D;3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是上底面A1B1C1D1的中心,则AC1与CE的位置关系是()

A.重合 B.平行

C.垂直 D.无法确定;答案60°1;5.如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,求证:CC1⊥BD.;本课结束