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样本及抽样分布

4.1随机样本

一、总体与样本

1.总体：研究对象的全体。

通常指研究对象的某项数量指标。

组成总体的元素称为个体。

从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随机变量的分布。

2.样本：来自总体的部分个体X1，…，Xn

如果满足：

（1）同分布性：Xi，i=1,…,n与总体同分布.

（2）独立性：

X1，…，Xn相互独立；

则称为容量为n的简单随机样本，简称样本。

而称X1，…，Xn的一次实现为样本观察值，记为x1，…，xn

来自总体X的随机样本X1，…，Xn可记为

显然，样本联合分布函数或密度函数为

或

3.总体、样本、样本观察值的关系

总体

样本

样本观察值

理论分布

统计是从手中已有的资料——样本观察值，去推断总体的情况——总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体

二、统计量

定义：称样本X1，…，Xn的函数

g(X1，…，Xn)是总体X的一个统计量,如果

g(X1，…，Xn)不含未知参数

几个常用的统计量：

3.样本k阶矩

4.2抽样分布

一、2—分布

统计量的分布称为抽样分布。数理统计中常用到如下三个分布：

2—分布、t—分布和F—分布。

2.2—分布的密度函数f(y)曲线

3.分位点设X~2(n)，若对于：01，

存在

满足

则称

为

分布的上分位点。

P228附表3

4.性质：((p124)

a.分布可加性若X~2(n1)，Y~2(n2)，X，Y独立，则X+Y~2(n1+n2)

b.期望与方差若X~2(n)，则

E(X)=n，D(X)=2n

1.构造若~N(0,1),~2(n),与独立，则

t(n)称为自由度为n的t—分布。

二、t—分布

t(n)的概率密度为(p125)

2.基本性质:

(1)f(t)关于t=0(纵轴)对称。

(2)f(t)的极限为N(0，1)的密度函数，即

3.分位点

设T～t(n)，若对

:01,存在t(n)0，满足P{Tt(n)}=，

则称t(n)为

t(n)的上侧分位点

注:

三、F—分布

1.构造若1~2(n1)，2~2(n2)，1，2独立，则

称为第一自由度为n1，第二自由度为n2的F—分布,其概率密度为

2.F—分布的分位点

对于：01，

若存在F(n1,n2)0，

满足

P{FF(n1,n2)}=，则称F(n1,n2)为

F(n1,n2)的

上侧分位点；

证明:设F~F(n1,n2),则

注：

得证!

4.3正态总体的抽样分布定理

证明:

是n个独立的正态随机变量的线性组合,故服从正态分布

(3)证明:

且U与V独立,根据t分布的构造

得证!

(P127)

例1：设总体X~N(10,32),X1，…，Xn是它的一个样本

(1)写出Z所服从的分布;(2)求P(Z11).

例2：设X1，…，X10是取自N（0，0.32)的样本,求

例3：设X1，…，Xn是取自N（,2)的样本,求样本方差S2的期望与方差。